Question

[Angela jolie]

Tìm tất cả bộ số nguyên dương (x;y;z) thỏa mãn \(\frac{x+y\sqrt{2017}}{y+z\sqrt{2017}}\) là số hữu tỉ đồng thời (y+2)(4zx+6y-3) là số chính phương.

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\frac{x+y\sqrt{2017}}{y+z\sqrt{2017}}=\frac{m}{n}\) (với m;n nguyên dương và nguyên tố cùng nhau)

\(\Leftrightarrow nx+ny\sqrt{2017}=my+mz\sqrt{2017}\)

\(\Leftrightarrow nx-my=\left(mz-ny\right)\sqrt{2017}\)

Vế trái hữu tỉ, vế phải vô tỉ nên dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}nx-my=0\\mz-ny=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{n}{m}=\frac{y}{x}\\\frac{n}{m}=\frac{z}{y}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{y}{x}=\frac{z}{y}\Rightarrow y^2=zx\)

\(\left(y+2\right)\left(4zx+6y-3\right)=\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)\)

Gọi \(d=ƯC\left(y+2;4y^2+6y-3\right)\)

\(\Leftrightarrow4y^2+6y-3-\left(y+2\right)\left(4y-2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)\) là số chính phương khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}y+2=a^2\\4y^2+6y-3=b^2\end{matrix}\right.\) với a;b nguyên dương

Xét \(4y^2+6y-3=b^2\Leftrightarrow16y^2+24y-12=\left(2b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4y+3\right)^2-21=\left(2b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4y+3-2b\right)\left(4y+3+2b\right)=21\)

\(\Rightarrow y=2\) (thỏa mãn \(y+2=a^2\))

\(\Rightarrow xz=4\Rightarrow\left(x;z\right)=\left(1;4\right);\left(4;1\right);\left(2;2\right)\)

Vậy ta có các bộ \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;4\right);\left(4;2;1\right);\left(2;2;2\right)\)