\(\frac{x-2020}{31}-\frac{x-2020}{45}=\frac{x-2020}{11}+\frac{x-2020}{2021}\)
thực hiện phép tính
làm hộ nha !!!
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đk: \(\forall x\in R\)
Ta có:\(\sqrt{x^2+1-2x}+\sqrt{x^2+4x+4}=\sqrt{1+2020^2+\frac{2020^2}{2021^2}}+\frac{2020}{2021}\)
<=> \(\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x+2\right)^2}=\sqrt{1+2020^2+2.2020+\frac{2020^2}{2021^2}-2.2020}+\frac{2020}{2021}\)
<=> \(\left|x-1\right|+\left|x+2\right|=\sqrt{\left(1+2020\right)^2+\frac{2020^2}{2021^2}-2.2020}+\frac{2020}{2021}\)
<=> \(\left|x-1\right|+\left|x+2\right|=\sqrt{\left(2021-\frac{2020}{2021}\right)^2}+\frac{2020}{2021}\)
<=> \(\left|x-1\right|+\left|x+2\right|=\frac{2021^2-2020}{2021}+\frac{2020}{2021}\)
<=> \(\left|x-1\right|+\left|x+2\right|=2021\)
Lập bảng xét dầu
x -2 1
x - 1 - | - 0 +
x + 2 - 0 + | -
Xét các TH xảy ra :
TH1: x \(\le\)-2 => pt trở thành: 1 - x - x - 2 = 2021
<=> -2x = 2022 <=> x = -1011 (tm)
TH2: \(-2< x\le1\) => pt trở thành: 1 - x + x + 2 = 2021
<=> 0x = 2018 (vô lí) => pt vô nghiệm
TH3: \(x>1\) => pt trở thành: x - 1 + x + 2 = 2021
<=> 2x = 2020 <=> x = 1010 (tm)
Vậy S = {-1011; 1010}
Ta có:
\(\frac{xy}{x+y}=\frac{yz}{y+z}=\frac{zx}{z+x}\rightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{y+z}{yz}=\frac{z+x}{zx}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\Rightarrow x=y=z\)
Thay tất cả giá trị x,y,z vào M ta được:
\(M=\frac{2020x^3+2020y^3+2020z^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{2021x^5+2021y^5}{x^5+y^5}\)
\(\Rightarrow M=\frac{2020\left(x^3+y^3+z^3\right)}{x^3+y^3+z^3}+\frac{2021\left(x^5+y^5\right)}{x^5+y^5}\)
\(\Rightarrow M=2020+2021=4041\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta được:
\(\left(x+y\right)\left(\frac{2020}{x}+\frac{1}{2020y}\right)\ge\left(\sqrt{x}\cdot\sqrt{\frac{2020}{x}}+\sqrt{y}\cdot\sqrt{\frac{1}{2020y}}\right)\)
\(=\left(\sqrt{2020}+\sqrt{\frac{1}{2020}}\right)^2=2020+\frac{1}{2020}+2=2022\frac{1}{2020}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2021}{2020}\cdot S\ge2022\frac{1}{2020}\)
\(\Rightarrow S\ge2022\frac{1}{2020}\div\frac{2021}{2020}=2021\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\frac{2020}{x}}}=\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{\frac{1}{2020y}}}\\x+y=\frac{2021}{2020}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2020y\\x+y=\frac{2021}{2020}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=\frac{1}{2020}\end{cases}}\)
Vậy Min(S) = 2021 khi \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=\frac{1}{2020}\end{cases}}\)