Cho (O) đường kính AB cố định. CD là đường kính di dộng của (O) (khác AB). Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt AC và AD lần lượt tại M và N
K là giao điểm của 2 đường trung trực của CD và MN. CMR K luôn thuộc 1 đường thẳng cố định.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
SV
21 tháng 4 2015
a) góc MAN nội tiếp chắn nửa (O) => góc MAN = 900 hay góc CAD = 900
tam giác CAD vuông tại A có đường cao AB => AM.AC = AB2 = 4R2 không đổi
b) Tam giác OAN có OA = ON = R nên cân tại O => góc OAN = góc ONA hay góc BAD = góc MNA
mà góc BAD = góc ACD (cùng phụ góc BAC) => góc MNA = góc ACD => tứ giác CMND nội tiếp
c) tam giác ACD vuông tại A có AI là trung tuyến => IA = ID = 1/2 CD => tam giác IAD cân tại I => góc IAD = góc IDA
mà góc IDA = góc AMN( tứ giác CMND nội tiếp) => góc IAD = góc AMN mà góc AMD phụ góc MNA => góc IAD phụ góc MNA
=> góc AHN = 900 hay góc AHO = 900 , mà OA = R không đổi => H nằm trên đường tròn đường kính AO
LA
30 tháng 3 2017
a﴿ góc MAN nội tiếp chắn nửa ﴾O﴿ => góc MAN = 90o hay góc CAD = 90o
tam giác CAD vuông tại A có đường cao AB => AM.AC = AB 2 = 4R 2 không đổi
b﴿ Tam giác OAN có OA = ON = R nên cân tại O => góc OAN = góc ONA hay góc BAD = góc MNA
mà góc BAD = góc ACD ﴾cùng phụ góc BAC﴿ => góc MNA = góc ACD => tứ giác CMND nội tiếp
c﴿ tam giác ACD vuông tại A có AI là trung tuyến => IA = ID = 1/2 CD => tam giác IAD cân tại I => góc IAD = góc IDA
mà góc IDA = góc AMN﴾ tứ giác CMND nội tiếp﴿
=> góc IAD = góc AMN mà góc AMD phụ góc MNA => góc IAD phụ góc MNA
=> góc AHN = 90 0 hay góc AHO = 90 0 , mà OA = R không đổi => H nằm trên đường tròn đường kính AO
6 tháng 1 2023
a: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đo: ΔACB vuông tại C
Xét (O) co
ΔADB nội tiếp
ABlà đườg kính
Do đó:ΔADB vuông tại D
AC*AM=AB^2
AD*AN=AB^2
=>AC*AM=AD*AN
b: Xét ΔOBI và ΔOCI có
OB=OC
IB=IC
OI chung
Do đó:ΔOBI=ΔOCI
=>góc OCI=90 độ
=>IC là tiếp tuyến của (O)
4 tháng 6 2019
Ta có điểm C nằm trên đường tròn (AB) nên ^ACB = 900 => BC vuông góc AE
Xét \(\Delta\)BAE: ^ABE = 900, BC vuông góc AE (cmt) => AB2 = AC.AE (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Tương tự AB2 = AD.AF. Do đó AC.AE = AD.AF. Từ đây, tứ giác ECDF nội tiếp.
Xét \(\Delta\)ABF: O là trung điểm AB; H là trung điểm BF => OH là đường trung bình trong \(\Delta\)ABF => OH // AF
Lại có CD là đường kính của (O), A thuộc (O) nên ^CAD = 900 => AE vuông góc AF
Do vậy OH vuông góc AE. Kết hợp với AO vuông góc HE (tại B) suy ra O là trực tâm \(\Delta\)AEH
=> EO vuông góc AH => ^AKE = ^ABE = 900 => A,K,B,E cùng thuộc đường tròn (AE)
Ta thấy AB,CD,KE tại O. Khi đó, áp dụng hệ thức lượng đường tròn: OE.OK = OA.OB = OC.OD
=> C,K,D,E cùng thuộc 1 đường tròn hay K thuộc đường tròn (DCE)
Mà tứ giác ECDF nội tiếp (cmt) nên K thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF (đpcm).
4 tháng 6 2019
Bài Toán trên có các câu hỏi a, b, c thứ tự để hướng dẫn làm bài
I)Chứng minh tứ giác ECDF nội tiếp
+) ACBD là hình chữ nhật ( tự chứng minh)
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AEB}\)( cùng phụ góc CBE)
=> \(\widehat{ADC}=\widehat{AEB}=\widehat{CEF}\)
=> Tứ giác ECDF nội tiếp
II) Chứng minh Tứ giác KDBO nội tiếp
Xét \(\Delta ABE\)và \(\Delta FBA\)
Hai tam giác trên đồng dạng ( tự chứng minh)
=> \(\frac{AB}{FB}=\frac{BE}{BA}\Leftrightarrow\frac{2.OB}{2.BH}=\frac{BE}{BA}\Leftrightarrow\frac{OB}{BH}=\frac{BE}{BA}\)(1)
Mặt khác \(\widehat{OBE}=\widehat{HBA}=90^o\)(2)
(1), (2) => \(\Delta OBE~\Delta HBA\)
=> \(\widehat{BEO}=\widehat{BAH}=\widehat{OAK}\)
=> Tứ giác BEAK nội tiếp
=> \(\widehat{AKO}=\widehat{OBE}=90^o\)
=> \(\widehat{OKH}=90^o\)(1)
Xét tam giác BDF vuông tại D , DH là đường trung tuyến
=> DH=HB
=> \(\widehat{HDB}=\widehat{HBD}=\widehat{BCD}=\widehat{ADC}\)
=> \(\widehat{ODH}=\widehat{ODB}+\widehat{HDB}=\widehat{ODB}+\widehat{ADO}=\widehat{ADB}=90^o\)(2)
Ta lại có: \(\widehat{OBH}=90^o\)(3)
Từ (1), (2), (3)
=> DKOBH cùng thuộc đường tròn đường kính OH
=> DKOB nội tiếp (4)
III) Chứng minh tứ giác DKCE nội tiếp
Từ (4) => \(\widehat{DKO}+\widehat{DBO}=180^o\)
Mặt khác : \(\widehat{DBO}=\widehat{DCA}\)và \(\widehat{DCA}+\widehat{DCE}=180^o\)
Từ 3 điều trên => \(\widehat{DKO}=\widehat{DCE}=\widehat{OCE}\)
=> Tứ giác DKCE nội tiếp
Từ (I) và (III)
=> D, K, C, E , F cùng thuộc một đường tròn
=> K thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF
26 tháng 5 2018
a) Ta có: Đường tròn (O;R) có đường kính CD và điểm A nằm trên cung CD => ^CAD=900
=> ^PAQ=900 => \(\Delta\)APQ vuông tại A
Do PQ là tiếp tuyến của (O) tại B => AB là đường cao của \(\Delta\)APQ
=> ^PAB=^AQP (Cùng phụ ^APQ) hay ^CAO=^DQP
Mà \(\Delta\)AOC cân tại O => ^CAO=^ACO => ^DQP=^ACO
Lại có: ^ACO+^PCD=1800 => ^DQP+^PCD=1800
=> Tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn (đpcm).
b) Xét \(\Delta\)APQ vuông tại A: Có đường trung tuyến AI => \(\Delta\)AIQ cân tại I
=> ^IAQ=^IQA hay ^IAQ=^DQP => ^IAQ=^ACO (Do ^DQP=^ACO)
Hay ^IAQ=^ACD. Mà ^IAQ+^CAI=900 => ^ACD+^CAI=900
=> AI vuông góc với CD (đpcm).
c) Ta thấy tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn
=> 4 đường trung trực của CP;CD;DQ;PQ cắt nhau tại 1 điểm (1)
E là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)CPQ => Trung trực của CP và CD cắt nhau tại E (2)
Từ (1) và (2) => Điểm E nằm trên trung trực của PQ.
Lại có: I là trung điểm PQ => E là điểm cách PQ 1 khoảng bằng đoạn EI (*)
AB vuông góc PQ; EI cũng vuông góc PQ => AB//EI hay AO//EI (3)
E thuộc trung trực CD; O là trung điểm CD => OE vuông góc CD.
Mà AI vuông góc CD => OE//AI (4)ư
Từ (3) và (4) => Tứ giác AOEI là hình bình hành => AO=EI (**)
Từ (*) và (**) => E là điểm cách PQ 1 khoảng bằng đoạn AO
Mà AO là bk của (O); PQ là tiếp tuyến của (O) tại B
Nên ta có thể nói: Điểm E là điểm cách tiếp tuyến của (O) tại B một khoảng bằng độ dài bán kính của (O)
Vậy khi đường kính CD thay đổi thì điểm E di động trên đường thẳng song song với tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) và cách (O) 1 khoảng bằng độ dài bk của (O).