a)cho abc khác +1 và \(\frac{ab++1}{b}\)=\(\frac{bc+1}{c}\)=\(\frac{ca+1}{a}\)
CMR:a=b=c
b)cho STN n>3.CMR:nếu 2n=10a+b(a,b thuộc N,0<b<10) thì tích ab chia hết cho 6
help me!!!!!!!!!!!!!!!!!!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
31 tháng 10 2020
\(M=\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-a\right)}\)
Đánh giá đại diện: \(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=\frac{\left(a-c\right)-\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a-c}\)
Tương tự: \(\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}=\frac{1}{b-c}-\frac{1}{b-a}\)
\(\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{1}{c-a}-\frac{1}{c-b}\)
\(\Rightarrow M=\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a-c}+\frac{1}{b-c}-\frac{1}{b-a}+\frac{1}{c-a}-\frac{1}{c-b}\)
\(\Rightarrow M=\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}\)
\(\Rightarrow M=2\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)=2N\left(đpcm\right)\)
5 tháng 7 2016
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
=>\(\frac{1}{a}=-\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
=>\(\frac{1}{a^2}=-\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ca}\right)\)
cm tương tự: \(\frac{1}{b^2}=-\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}\right)\)
\(\frac{1}{c^2}=-\left(\frac{1}{ca}+\frac{1}{bc}\right)\)
=> \(N=-\left[bc\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ca}\right)+ca\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}\right)+ab\left(\frac{1}{ca}+\frac{1}{bc}\right)\right]\)
\(=-\left[\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right]\)
\(=-\left[\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\right]\) (1)
Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
=>\(\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}=0\)
=>\(1+\frac{b+c}{a}+1+\frac{a+c}{b}+1+\frac{a+b}{c}=0\)
=>\(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=-3\) (2)
Từ (1) và (2) =>N=3
13 tháng 6 2016
a)(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc=a(ab+bc+ac)+b(ab+bc+ac)+c(ab+bc+ac)-abc
=a2b+abc+a2c+ab2+b2c+abc+abc+bc2+ac2-abc
=(abc+a2b)+(a2c+ac2)+(b2c+ab2)+(bc2+abc)+(abc-abc)
=ab(c+a)+ac(c+a)+b2(c+a)+bc(c+a)
=(ab+ac+b2+bc)(c+a)
=(a+b)(b+c)(c+a)
13 tháng 6 2016
a) \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)-abc=a^2b+abc+a^2c+ab^2+b^2c+abc+abc+c^2b+c^2a-abc\)
\(=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+a^2c+2abc=b\left(a^2+2ac+c^2\right)+b^2\left(a+c\right)+ac\left(a+c\right)\)
\(=b\left(a+c\right)^2+b^2\left(a+c\right)+ac\left(a+c\right)=\left(a+c\right)\left(ab+bc+b^2+ac\right)\)
\(=\left(a+c\right)\left[b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right]=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)
b) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)=abc\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)-abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)(áp dụng từ câu a) )
\(\Rightarrow a+b=0\)hoặc \(b+c=0\)hoặc \(c+a=0\)
Đặt \(a^{2n+1}=x;b^{2n+1}=y;c^{2n+1}=z\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)-xyz=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)( áp dụng câu a) )
\(\Rightarrow x+y=0\)hoặc \(y+z=0\)hoặc \(z+x=0\)
- Với \(x+y=0\Leftrightarrow a^{2n+1}+b^{2n+1}=0\Leftrightarrow\left(a+b\right).A=0\)với A là một đa thức
Mà ta lại có \(a+b=0\left(cmt\right)\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}=0\)\(\Rightarrow\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{c^{2n+1}}\)(luôn đúng)
Tương tự với các trường hợp còn lại, ta có điều phải chứng minh.
\(\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2020
1. Đề thiếu
2. BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)
3.
Ta có:
\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)
\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Lại có:
\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2020
4.
Ta có:
\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
5.
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)
MT
1
13 tháng 7 2016
Ta có : \(\frac{ab+1}{b}=\frac{bc+1}{c}=\frac{ac+1}{a}\Leftrightarrow a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}\)
Từ \(a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}\Rightarrow a-b=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\Leftrightarrow a-b=\frac{b-c}{bc}\)(1)
Tương tự : \(b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}\Leftrightarrow b-c=\frac{c-a}{ac}\) (2) ; \(c+\frac{1}{a}=a+\frac{1}{b}\Leftrightarrow c-a=\frac{a-b}{ab}\)(3)
Nhân (1) , (2), (3) theo vế :
\(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{a^2b^2c^2}\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(1-\frac{1}{a^2b^2c^2}\right)=0\)
Vì abc khác 1 nên\(a^2b^2c^2\ne1\) \(\Rightarrow1-\frac{1}{a^2b^2c^2}\ne0\)
Do đó \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=0\Rightarrow\)a = b hoặc b = c hoặc c = a
- Với a = b , từ giả thiết ta có b = c => a = b = c
- Với b = c , từ giả thiết ta có c = a => a = b = c
- Với c = a , từ giả thiết ta có a = b => a = b = c
Vậy a = b = c
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 6 2020
Lời giải:
Ta thấy:
\(\text{VT}=(a+\frac{ca}{a+b})+(b+\frac{ab}{b+c})+(c+\frac{bc}{c+a})\)
\(=\frac{a(a+b+c)}{a+b}+\frac{b(a+b+c)}{b+c}+\frac{c(a+b+c)}{c+a}\)
\(=(a+b+c)\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)\)
\(\geq (a+b+c).\frac{(a+b+c)^2}{a^2+ab+b^2+bc+c^2+ac}=\frac{(a+b+c)^3}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\) (theo BĐT Cauchy-Schwarz)
Có:
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2+2$
$\Rightarrow a+b+c=\sqrt{a^2+b^2+c^2+2}=\sqrt{t+2}$ với $t=a^2+b^2+c^2$
Do đó:
$\text{VT}\geq \frac{\sqrt{(t+2)^3}}{t+1}$ \(=\sqrt{\frac{(t+2)^3}{(t+1)^2}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((t+2)^3=\left(\frac{t+1}{2}+\frac{t+1}{2}+1\right)^3\geq 27.\frac{(t+1)^2}{4}\)
\(\Rightarrow \text{VT}=\sqrt{\frac{(t+2)^3}{(t+1)^2}}\geq \sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$