Question

[Kiriya Aoi]

Cho đường tròn (O;R), I là điểm cố định bên trong đường tròn. Gọi AC, BD là 2 dây bất kì cùng qua I. Xác định vị trí của dây AC,BD để

\(\frac{AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}\)

a) lớn nhất

b) nhỏ nhất

Answer 1

[Tran Le Khanh Linh]

*Mình vẽ hình trên GeoGebra nên bạn vào thống kê mình xem*

Xét \(\Delta IDC\) và \(\Delta\)IAB có:

\(\widehat{DIC}=\widehat{AIB}\) (đối đỉnh)

\(\widehat{IDC}=\widehat{IAB}\) (cùng chắn cung BC)

Do đó \(\Delta IDC\)đồng dạng với \(\Delta\)IAB => \(\frac{ID}{IA}=\frac{IC}{IB}=\frac{CD}{AB}\left(1\right)\)

Tương tự ta có: \(\Delta\)IAD đồng dạng \(\Delta\)IBC => \(\frac{IA}{IB}=\frac{ID}{IC}=\frac{DA}{BC}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{ID}{IB}=\frac{ID}{IA}\cdot\frac{IA}{IB}=\frac{DA\cdot CD}{AB\cdot BC}\)

\(\Rightarrow\frac{ID+IB}{IB}=\frac{AB\cdot BC+DA\cdot CD}{AB\cdot BC}\) hay \(BD=\frac{AB\cdot BC+DA\cdot CD}{AB\cdot BC}\cdot IB\)

mặt khác  ta có: \(\frac{IC}{IA}=\frac{IC}{IB}:\frac{IA}{IB}=\frac{BC\cdot CD}{AB\cdot DA}\Rightarrow\frac{IC+IA}{IA}=\frac{AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot DA}\)

\(\Rightarrow AC=\frac{AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot DA}\cdot IA\)

Do đó: \(\frac{AC}{BD}=\left(\frac{AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot DA}\cdot IA\right):\left(\frac{AB\cdot BC+DA\cdot CB}{AB\cdot BC}\cdot IB\right)\Rightarrow\frac{AC}{BD}=\frac{AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}\)

Do đó:

\(\frac{AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}\left(max\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}AC\left(max\right)\\BD\left(min\right)\end{cases}}\)<=> AC qua O và BD _|_ OI

\(\frac{AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}\left(min\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}AC\left(min\right)\\BD\left(max\right)\end{cases}}\)<=> AC _|_OI vfa BD đi qua O