Cho \(a+b\ge0\), chứng minh \(\frac{a+b}{2}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)
thanks nhìu ạ !
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 2 2017
ĐỀ sai nhé: \(a^2+b^2=4\Rightarrow4-a^2< 0\)
Vậy làm sao tồn tại căn của nó chứ
CM
1
30 tháng 10 2017
ta có: \(a^2+b^2=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\le1\\b^2\le1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}0\le a\le1\\0\le b\le1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a^3\le a^2\\b^3\le b^2\end{cases}}.}\)
\(\Rightarrow a^3+b^3\le a^2+b^2=1\)
\(\Rightarrow a^3+b^3\le1\) (*)
Mặt khác ta có: \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\) (BĐT bu-nhi-a)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le2\) ( vì a^2 +b^2 =1)
\(\Leftrightarrow a+b\le\sqrt{2}\) (1)
mà \(\left(a^2+b^2\right)^2\le\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\) (BĐT bu-nhi-a)
\(\Leftrightarrow1\le\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\) (2)
Thay (1) vào(2) ta đc: \(1\le\sqrt{2}\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\) (**)
Từ (*);(**)=> đpcm
CL
1
24 tháng 3 2017
\(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^3+b^3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}{4}\le\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{4}\le\frac{a^2-ab+b^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\le a^2-ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\le2a^2-2ab+2b^2\)
\(\Leftrightarrow0\le a^2-2ab+b^2\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (Luôn đúng với mọi a ; b)
WR
15 tháng 8 2017
Ta cm bằng cách bđ tương đương
\(Cm:ab\left(a+b\right)^2\le\frac{1}{64}\Leftrightarrow64ab\left(a+b\right)^2\le1\Leftrightarrow8\left(a+b\right)\sqrt{ab}\le1.\)
Ta có:
\(8\left(a+b\right)\sqrt{ab}=4.\left(a+b\right).2\sqrt{ab}\le4.\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=1\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{4}\)
TN
1 tháng 3 2017
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
HP
1 tháng 3 2017
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
\(\frac{a+b}{2}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\le\frac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}\)
\(\Leftrightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)