Question

[Chi Light Sparkle]

1.Tìm cặp số x,y thỏa mãn điều kiện: \(\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}=y^2+2\sqrt{2013}y+2015\)

2.Cho x >2014, y>2014 thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2014}\). Tính giá trị của biểu thức:\(P=\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x-2014}+\sqrt{y-2014}}\)

3.Rút gọn \(P=\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}\)

4.Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=2\\2x-y=1\end{matrix}\right.\)Giải và biện luận theo m.

5.Cho hệ phương trình\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=1\\x+my=2\end{matrix}\right.\)Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

6.Cho hệ phương trình\(\left\{{}\begin{matrix}3mx-y=6m^2-m-2\left(1\right)\\5x+my=m^2+12m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)Tìm m để biểu thức \(A=2y^2-x^2\)nhận GTLN. Tìm GTLN đó.

Giúp mình nhanh lên các bạn. Càng sớm càng tốt. 15/03/2020 là mình phải nộp cho cô.

Thanks

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

1.

\(VT=\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}\le\sqrt{2\left(x-3+5-x\right)}=2\)

\(VP=y^2+2\sqrt{2013}y+2013+2=\left(y+\sqrt{2013}\right)^2+2\ge2\)

\(\Rightarrow VT\le VP\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-3=5-x\\y+\sqrt{2013}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=-\sqrt{2013}\end{matrix}\right.\)

2.

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2014}\Rightarrow\frac{xy}{x+y}=2014\)

\(P=\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x-\frac{xy}{x+y}}+\sqrt{y-\frac{xy}{x+y}}}=\frac{x+y}{\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2}}=\frac{x+y}{x+y}=1\)

3.

\(P=\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{\left(2\sqrt{2}+1\right)^2}}}\)

\(=\sqrt{13+30\sqrt{2+2\sqrt{2}+1}}=\sqrt{13+30\sqrt{3+2\sqrt{2}}}\)

\(=\sqrt{13+30\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}}=\sqrt{13+30\left(\sqrt{2}+1\right)}\)

\(=\sqrt{43+30\sqrt{2}}=\sqrt{\left(5+3\sqrt{2}\right)^2}=5+3\sqrt{2}\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

4.

\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=2\\2x-y=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+2\right)x=3\\y=2x-1\end{matrix}\right.\)

- Với \(m=-2\) hệ đã cho vô nghiệm

- Với \(m\ne-2\) hệ có nghiệm duy nhất:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{3}{m+2}\\y=2x-1=\frac{6}{m+2}-1=\frac{4-m}{m+2}\end{matrix}\right.\)

5.

Giả sử hệ đã cho có nghiệm

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx=1-y\\my=2-x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\frac{1-y}{x}\\m=\frac{2-x}{y}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\frac{1-y}{x}=\frac{2-x}{y}\Leftrightarrow y-y^2=2x-x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-y^2-2x+y=0\)

Đây là hệ thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m