cho a,b,c >1 cmr :
\(\frac{a}{\sqrt{b}-1}+\frac{b}{\sqrt{c}-1}+\frac{c}{\sqrt{a}-1}\ge12\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
4 tháng 7 2019
Ta có \(\frac{a}{\sqrt{b}-1}+4\left(\sqrt{b}-1\right)\ge4\sqrt{a}\)
\(\frac{b}{\sqrt{c}-1}+4\left(\sqrt{c}-1\right)\ge4\sqrt{b}\)
\(\frac{c}{\sqrt{a}-1}+4\left(\sqrt{a}-1\right)\ge4\sqrt{c}\)
Cộng các vế của 3 BĐT trên
=> ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=4
NA
2
1 tháng 9 2019
Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(\frac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y-1}.4\left(y-1\right)}=4x\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x^2}{y-1}\ge4x-4y+4\)
Tương tự với hai phân thức còn lại, cộng 3 bđt lại ta đc: \(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{z-1}+\frac{z^2}{x-1}\ge4+4+4=12\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=4\)
29 tháng 11 2019
bài này đề a,b,c>1 chứ, thay a=b=c=1/4 thì sẽ rõ :)) mấy ông ko biết cứ k sai
10 tháng 1 2017
\(\frac{a}{\sqrt{b}-1}+\frac{b}{\sqrt{c}-1}+\frac{c}{\sqrt{c}-1}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-3}=\frac{t^2}{t-3}=12.,\)
\(t^2-12t+36=0\Leftrightarrow t=6;.\)
=>a =b =c = 4
28 tháng 7 2020
Đặt ⎧⎪⎨⎪⎩a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0){a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0)
⇒⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩a=z+x2b=x+y2c=y+z2⇒{a=z+x2b=x+y2c=y+z2
⇒√a(1b+c−a−1√bc)=√2(z+x)2(1y−2√(x+y)(y+z))≥√x+√z2(1y−2√xy+√yz)=√x+√z2y−1√y⇒a(1b+c−a−1bc)=2(z+x)2(1y−2(x+y)(y+z))≥x+z2(1y−2xy+yz)=x+z2y−1y
Tương tự
⇒∑√a(1b+c−a−1√bc)≥∑√x+√z2y−∑1√y⇒∑a(1b+c−a−1bc)≥∑x+z2y−∑1y
⇒VT≥∑[x√x(y+z)]2xyz−∑√xy√xyz≥2√xyz(x+y+z)2xyz−x+y+z√xyz≐x+y+z√xyz−x+y+z√xyz=0⇒VT≥∑[xx(y+z)]2xyz−∑xyxyz≥2xyz(x+y+z)2xyz−x+y+zxyz≐x+y+zxyz−x+y+zxyz=0
(∑√xy≤x+y+z,x√x(y+z)≥2x√xyz)(∑xy≤x+y+z,xx(y+z)≥2xxyz)
dấu = ⇔x=y=z⇔a=b=c
9 tháng 11 2018
Đề như này đúng ko \(3\le\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}< 3+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
Dấu \("\ge"\) thứ 2 dấu "=" ko xảy ra
Đặt \(A=\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\)
\(A\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{b}\right)\left(1+\sqrt{c}\right)}{\left(1+\sqrt{b}\right)\left(1+\sqrt{c}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}}=3\) \(\left(1\right)\)
CM : \(\frac{1+\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}< 1+\sqrt{x}\) ( với a, b nguyên dương )
\(\Leftrightarrow\)\(\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{y}\right)-\left(1+\sqrt{x}\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(1+\sqrt{x}\right)\sqrt{y}>0\) ( luôn đúng với mọi a, b nguyên dương )
\(\Rightarrow\)\(A< 1+\sqrt{a}+1+\sqrt{b}+1+\sqrt{c}=3+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(3\le\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}< 3+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\) ( đpcm )
Chúc bạn học tốt ~