Cho 3 số x,y,z thuộc R .Tìm gtnn của biểu thức :
`P=|2x+3y|+|4y+5z|+|xy+yz+xz+110|
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sửa thành tìm GTLN nhé !
Với x,y,z>0 chia 2 vế của \(xy+yz+xz=xyz\) cho \(xyz\) ta có :
\(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{4x+3y+z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)\). Tương tự cho 2 BĐT kia:
\(\frac{1}{x+4y+3z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{3}{z}\right);\frac{1}{3x+y+4z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{3}{x}+\frac{1}{y}+\frac{4}{z}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(M\leΣ\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)=Σ\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=3\)
\(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\frac{2x+y+z}{2}\)
cmtt => GTLN
Tìm max:
Ta có:
\(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+xz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
\(\le\frac{2x+y+z}{2}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2y+zx}\le\frac{2y+z+x}{2}\left(2\right)\\\sqrt{2z+xy}\le\frac{2z+x+y}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được
\(A\le\frac{2x+y+z}{2}+\frac{2y+z+x}{2}+\frac{2z+x+y}{2}=2\left(x+y+z\right)=4\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
Tìm min:
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2x+yz}\ge0\\\sqrt{2y+zx}\ge0\\\sqrt{2z+xy}\ge0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow A\ge0\)
Dấu = xảy ra khi \(\left(x,y,z\right)=\left(-2,2,2;2,-2,2;2,2,-2\right)\)
Ta có: \(\left|2x+3y\right|\ge0\)\(\forall x,y\inℝ\); \(\left|4y+5z\right|\ge0\)\(\forall y,z\inℝ\); \(\left|xy+yz+zx+110\right|\ge0\)\(\forall x,y,z\inℝ\)
Nên: \(P=\left|2x+3y\right|+\left|4y+5z\right|+\left|xy+yz+xz+110\right|\ge0\)\(\forall x,y,z\inℝ\)
Dấu " = " xảy ra <=> \(\left|2x+3y\right|+\left|4y+5z\right|+\left|xy+yz+xz+110\right|=0\)
Có: \( \left|2x+3y\right|=0\)\(\Leftrightarrow2x+3y=0\)\(\Leftrightarrow2x=-3y\)\(\Leftrightarrow\frac{x}{-3}=\frac{y}{2}\)
\(\left|4y+5z\right|=0\)\(\Leftrightarrow4y+5z=0\)\(\Leftrightarrow4y=-5z\)\(\Leftrightarrow\frac{y}{-5}=\frac{z}{4}\)
\(\left|xy+yz+zx+110\right|=0\)\(\Leftrightarrow xy+yz+zx+110=0\)\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=-110\)
Lại có: \(\frac{x}{-3}=\frac{y}{2}\)\(\Rightarrow\frac{x}{15}=\frac{y}{-10}\) (1) ; \(\frac{y}{-5}=\frac{z}{4}\)\(\Rightarrow\frac{y}{-10}=\frac{z}{8}\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{x}{15}=\frac{y}{-10}=\frac{z}{8}=k\)=> x = 15k ; y = (-10) . k ; z = 8k
Ta có: \(xy+yz+zx=-110\)\(\Rightarrow15k\left(-10\right)k+8k\left(-10\right)k+8k.15k=-110\)
\(\Rightarrow k^2\left(-150\right)+k^2\left(-80\right)+120k^2=-110\)
\(\Rightarrow k^2\left(-110\right)=-110\)\(\Rightarrow k^2=1\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}k=1\\k=-1\end{cases}}\)
+) Th1: k = 1
Có: x = 15k = 15 . 1 = 15
y = (-10) . k = (-10) . 1 = -10
z = 8k = 8 . 1 = 8
+) Th2: k = -1
Có: x = 15k = 15 . (-1) = -15
y = (-10) . k = (-10) . (-1) = 10
z = 8k = 8 . (-1) = -8
Vậy GTNN P = 0 <=> (x; y; z) = (15; -10; 8) hoặc (x; y; z) = (-15; 10; -8)