Cho 3 số thực dương thỏa mãn \(x+y\le z\).Chứng minh rằng:
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge\frac{27}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 6 2020
Theo AM - GM và Bunhiacopski ta có được
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\ge\frac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
Khi đó \(LHS\ge\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+z^2\right]\left[\frac{8}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{z^2}\right]\)
\(\)\(=\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{z}{x+y}\right)^2\right]\left[8+\left(\frac{x+y}{z}\right)^2\right]\)
Đặt \(t=\frac{z}{x+y}\ge1\)
Khi đó:\(LHS\ge\left(\frac{1}{2}+t^2\right)\left(8+\frac{1}{t^2}\right)=8t^2+\frac{1}{2t^2}+5\)
\(=\left(\frac{1}{2t^2}+\frac{t^2}{2}\right)+\frac{15t^2}{2}+5\ge\frac{27}{2}\)
Vậy ta có đpcm
T
23 tháng 6 2020
Ta có:
\(VT-VP=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(\Sigma xy\right)\left(\Sigma x\right)\left[z\left(x+y\right)-xy\right]\left(z-x-y\right)}{x^2y^2z^2\left(x+y\right)^2}+\frac{\left(x-y\right)^2\left(2x+y\right)^2\left(x+2y\right)^2}{2x^2y^2\left(x+y\right)^2}\ge0\)
Vì \(z\left(x+y\right)-xy\ge\left(x+y\right)^2-xy\ge4xy-xy>0\)
TN
24 tháng 11 2016
\(BDT\Leftrightarrow\text{∑}\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)\ge\frac{21}{2}\)
Mà \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\)(dùng AM-GM giải quyết chỗ này)
Vậy ta cần chứng minh \(\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge\frac{17}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{y^2}{z^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{z^2}{y^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{4z}{x+y}\right)^2\)
Đặt \(a=\frac{z}{x+y}\ge1\),ta chứng minh \(\frac{1}{2a^2}+8a^2\ge\frac{17}{2}\)
Dễ thấy BĐT này đúng.Vậy ta có đpcm
24 tháng 11 2016
\(BDT\Leftrightarrow\text{∑}\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)\ge\frac{21}{2}\)
Mà \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\). Vậy ta cần chứng minh
\(\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge\frac{17}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{y^2}{z^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{z^2}{y^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{4z}{x+y}\right)^2\)
Đặt \(a=\frac{z}{x+y}\ge1\), ta chứng minh \(\frac{1}{2a^2}+8a^2\ge\frac{17}{2}\)
Dễ thấy BĐT này đúng. Vậy ta có đpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 2 2020
\(x+y\le z\Rightarrow\frac{z}{x+y}\ge1\)\(VT=3+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+\frac{x^2}{z^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2}\)
\(VT=3+\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)+\left(\frac{x^2}{z^2}+\frac{z^2}{16x^2}\right)+\left(\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{16y^2}\right)+\frac{15z^2}{16}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)
\(VT\ge3+2\sqrt{\frac{x^2y^2}{x^2y^2}}+2\sqrt{\frac{x^2z^2}{16x^2z^2}}+2\sqrt{\frac{y^2z^2}{16y^2z^2}}+\frac{15z^2}{32}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(VT\ge3+2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{15z^2}{32}\left(\frac{4}{x+y}\right)^2\)
\(VT\ge6+\frac{15}{2}\left(\frac{z}{x+y}\right)^2\ge6+\frac{15}{2}=\frac{27}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{z}{2}\)
RR
16 tháng 5 2018
\(\Sigma\dfrac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}=\Sigma\left(\dfrac{1}{9}.\dfrac{a^2\left(2+1\right)^2}{2a.\left(\Sigma a\right)+2a^2+bc}\right)\le\Sigma\left(\dfrac{1}{9}.\dfrac{4a^2}{2a\left(\Sigma a\right)}+\dfrac{1}{9}.\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
\(=\Sigma\left(\dfrac{1}{9}.\left(\dfrac{2a}{\Sigma a}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\right)=\dfrac{1}{9}\left(2+\Sigma\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
Cần chứng minh \(\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\le1\)
<=> \(\Sigma\frac{bc}{2a^2+bc}\ge1\) (*)
Đặt (x;y;z) -------> \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\)
Suy ra (*) <=> \(\Sigma\frac{x^2}{x^2+2xy}\ge1\Leftrightarrow\frac{\Sigma x^2}{\Sigma x^2}\ge1\) (đúng)
Vậy \(\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\le1\)
Suy ra \(\Sigma\frac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}\le\frac{1}{9}\left(2+\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\right)\le\frac{1}{9}\left(2+1\right)=\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z = 1
3 + (x²/y² + y²/x²) + (x²/z² + y²/z²) + (z²/x² + z²/y²)
x²/y² + y²/x² ≥ 2 (Theo AM - GM)
Nên A ≥ 5 + (x²/z² + y²/z²) + (z²/x² + z²/y²)
Sử dụng 2 BĐT quen thuộc sau:
a² + b² ≥ (1/2)*(a + b)²
1/a + 1/b ≥ 4/(a + b)
Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Nghệ An năm 2014
https://thi.tuyensinh247.com/de-thi-vao-lop-10-mon-toan-tinh-nghe-an-nam-2014-c29a17566.html
Vào đó xem cho nó full :)))