Question

[Ichigo]

 Bài 1 : Cho a,b,c thỏa mãn \(a+b+c=3\) .Chứng minh rằng: \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\)

Bài 2 : 

Cho đường tròn \(\left(O;R\right)\)và điểm I cố đinhk nằm bên trong đường tròn (I khác O). Qua điểm I dựng hai cung bất kỳ AB và CD . Gọi M ,N .P ,Q lần lượt là trung điểm của IA ,IB, IC, ID 

a) Chứng minh rằng bốn điểm M,N ,P ,Q cùng thuộc một đường tròn 

b) Giả sử các dây cung AB và CD thay đổi vuông góc với nhau tại I. Xác định vị trí các dây cung AB và CD sao cho tứ giác MNPQ 

có diện tích lớn nhất

Answer 1

[Kudo Shinichi]

Bài 1 : 

Áp dụng Cô - si ta có :
\(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{\left(a+1\right)b^2}{b^2+1}\le\left(a+1\right)-\frac{\left(a+1\right)b^2}{2b}\)\(=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\)

Tương tự ta cũng có : \(\frac{b+1}{c^2+1}\le\left(b+1\right)-\frac{bc+c}{2};\frac{c+1}{a^2+1}\le\left(c+1\right)-\frac{ca+a}{2}\)

Cộng vế theo vế ta được: 

\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\)\(\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)

\(\ge6-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\)

Mặt khác ta có BĐT : \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow ab+bc+ca\le3\)

Do đó : \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\)

Dấu " = "  xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

Answer 2

[Kudo Shinichi]

Bài 2 : 

a) Ta có : \(MI=MA,QI=QD\)nên \(MQ\)là đường trung bình \(\Delta AID\) 

\(\Rightarrow MQ//AD\)

Tương tự NP là đường trung bình của \(\Delta BIC\)

\(\Rightarrow NP//BC\)

Do đó : \(NMQ=BAD=NPQ\)nên tứ giác MPNQ nội tiếp

b ) Kẻ \(OH\perp AB\)tại H và \(OK\perp CD\)tại K

Ta có : \(AB\perp CD\)

\(\Rightarrow OHIK\)là hình chữ nhật

Do đó \(AB^2+CD^2=4\left(BH^2+CK^2\right)=4\left(R^2-OH^2+R^2-OK^2\right)\)

\(=4\left(2R^2-OI^2\right)\)

Diện tích tứ giác MPNQ là : \(\frac{MN.PQ}{2}=\frac{AB.CD}{8}\le\frac{\left(AB+CD\right)^2}{16}=\frac{2R^2-OI^2}{4}\)không đổi

GTLN của diện tích tứ giác MNPQ là : \(\frac{2R^2-OI^2}{4}\), khi đó \(AB=CD\)

Chúc bạn học tốt !!!