Question

[ILoveMath]

Cho ΔABC có AB=c, BC=a, CA=b, 3 chiều cao tương ứng là h_a,h_b,h_c. CMR: \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{h^2_a+h^2_b+h^2_c}\ge4\)

Answer 1

[Nguyễn Hoàng Minh]

Kẻ Cx//AB và gọi D đối xứng với A qua Cx 

\(\Rightarrow CD=AC=b;AD=2h_c\)

Vì Cx//AB nên \(\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+\widehat{DAC}=\widehat{ACx}+\widehat{DAC}=90^0\)

Xét 3 điểm B,C,D có \(BD\le BC+CD\)

Xét tg ABD vuông tại A có \(AB^2+AD^2=BD^2\le\left(BC+CD\right)^2\)

\(\Leftrightarrow c^2+4h_c^2\le\left(a+b\right)^2\\ \Leftrightarrow4h_c^2\le\left(a+b\right)^2-c^2\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b\)

Cmtt \(\Leftrightarrow4h_b^2\le\left(a+c\right)^2-b^2;4h_a^2\le\left(b+c\right)^2-a^2\)

Cộng VTV 3 BĐT trên:

\(\Leftrightarrow4\left(h_a^2+h_b^2+h_c^2\right)\le\left(a+b\right)^2-c^2+\left(a+c\right)^2-b^2+\left(b+c\right)^2-a^2\\ \Leftrightarrow4\left(h_a^2+h_b^2+h_c^2\right)\le a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=\left(a+b+c\right)^2\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{h_a^2+h_b^2+h_c^2}\ge4\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\) hay tg ABC đều

Answer 2

[ILoveMath]

VTV là j thế anh