Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = \(\frac{a}{b^3+16}+\frac{b}{c^3+16}+\frac{c}{a^3+16}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
22 tháng 12 2019
Ta co:
\(0\le a,b,c\le3\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\le3a\\b^2\le3b\\c^2\le3c\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^3\le9a\\b^3\le9b\\c^3\le9c\end{cases}}\)
\(\Rightarrow M=\Sigma_{cyc}\frac{a}{a^3+16}\ge\Sigma_{cyc}\frac{a}{9a+16}=\Sigma_{cyc}\frac{a^2}{9a^2+16a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(a^2+b^2+c^2\right)+16\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{27\left(a+b+c\right)+16\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{43}\)
Dau '=' xay ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;3\right)=\left(3;0;0\right)=\left(0;3;0\right)\)
26 tháng 10 2016
\(a-\frac{ab^2}{b^2+1}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự và cộng lại, ta có:\(p\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\) mà 3(ab+bc+ca)\(\le\)(a+b+c)^2=9
=>ab+bc+ca\(\le\)3
=> \(p\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra =>a=b=c=1
KN
25 tháng 10 2020
Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))
Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị
KN
26 tháng 10 2020
Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)
Khi đó \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)
Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)
Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)
Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)
Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)
Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))
Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1
20 tháng 11 2019
Câu hỏi của Phạm Trần Minh Trí - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo.
T
20 tháng 11 2019
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)
Suy ra \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}\ge\frac{3a-b-c}{4}\)
Tương tự các BĐT còn lại và cộng theo vế ta được \(VT\ge\frac{a+b+c}{4}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b= c = 2
Do a + b + c = 3 nên ta có thể đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{3x}{x+y+z};\frac{3y}{x+y+z};\frac{3z}{x+y+z}\right);\left(x,y,z\ge0\right)\)
Thế vào nó ra bất đẳng thức đồng bậc nên em nghĩ có thể dùng SOS để chứng minh: \(S\ge\frac{3}{17}\)
\(16S=\sum\frac{16a}{b^3+16}=\sum a-\sum\frac{ab^3}{b^3+16}\ge3-\sum\frac{ab^2}{12}=3-\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{12}\)
Giả sử b là số ở giữa . \(\Rightarrow\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow b^2+ac\le bc+ab\)
\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le b\left(a+c\right)^2=\frac{2b\left(a+c\right)\left(a+c\right)}{2}\le\frac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^3}{54}=4\)
\(\Leftrightarrow16S\ge3-\frac{4}{12}=\frac{8}{3}\Leftrightarrow S\ge\frac{1}{6}\)
Vậy GTNN của \(S=\frac{1}{6}\) . Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=0;b=1;c=2\) và hoán vị