Chứng minh rằng :
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)với \(ab\ge1\)
P/s : Các cậu đừng làm cách áp dụng các bất đẳng thức ... nhé !!
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1,
\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)
bài 2
(bài này là đề thi olympic Toán,Ireland 1997),nhưng cũng dễ thôi
Giả sử ngược lại \(a^2+b^2+c^2< abc\)
khi đó \(abc>a^2+b^2+c^2>a^2\)nên \(a< bc\)
Tương tự \(b< ac,c< ab\)
Từ đó suy ra :\(a+b+c< ab+bc+ac\left(1\right)\)
mặt khác ta lại có:\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)nên
\(abc>a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow abc>ab+ac+bc\left(2\right)\)
Từ (1),(2) ta có\(abc>a+b+c\)(trái với giả thuyết)
Vậy bài toán được chứng minh
3)để đơn giản ta đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\).Khi đó \(x,y,z>0\)
và \(xy+yz+xz\ge1\)
ta phải chứng minh có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức sau đúng
\(2x+3y+6z\ge6,2y+3z+6x\ge6,2z+3x+6y\ge6\)
Giả sử khẳng định này sai,tức là có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức trên sai.Không mất tính tổng quát,ta giả sử
\(2x+3y+6z< 6\)và \(2y+3z+6x< 6\)
Cộng hai bất đẳng thức này lại,ta được:\(8x+5y+9z< 12\)
Từ giả thiết \(xy+yz+xz\ge1\Rightarrow x\left(y+z\right)\ge1-yz\)
\(\Rightarrow x\ge\frac{1-yz}{y+z}\)Do đó
\(8\frac{1-yz}{y+z}+5y+9z< 12\Leftrightarrow8\left(1-yz\right)+\left(5y+9z\right)\left(y+z\right)< 12\left(y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow5y^2+6yz+9z^2-12y-12z+8< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(y+3z-2\right)^2+4\left(y-1\right)^2< 0\)(vô lý)
mâu thuẫn này chứng tỏ khẳng định bài toán đúng.Phép chứng minh hoàn tất.
xét hiệu \(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\)
quy đồng làm nốt nha
Áp dụng bđt bu nhi a, ta có \(M^2\le3\left(\frac{a}{b+c+2a}+...\right)\)
mà \(\frac{a}{b+c+2a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)
tương tự, ta có \(M^2\le\frac{3}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{c+b}\right)=\frac{9}{4}\)
=>\(M\le\frac{3}{2}\)
dấu = xảy ra <=> a=b=c
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) (1)
\(\sqrt{ab}\ge\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}\ge\frac{2ab}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}\ge\frac{2\sqrt{ab}^2}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}\le1\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}-1\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{ab}-a-b}{a+b}\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{a+b}\le0\) (luôn đúng)
Vậy \(\sqrt{ab}\ge\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\) (2)
Từ (1) ; (2) \(\Rightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\ge\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\) (đpcm)
Vì abc = 1 nên \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\)\(=\frac{ac}{abc+ac+c}+\frac{abc}{abc^2+abc+ac}+\frac{c}{ca+c+1}\)
\(=\frac{ac}{ac+c+1}+\frac{1}{ac+c+1}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac+c+1}{ac+c+1}=1\)(*)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức và áp dụng đẳng thức (*), ta được:
\(\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\)\(=\frac{\left(\frac{a}{ab+a+1}\right)^2}{a}+\frac{\left(\frac{b}{bc+b+1}\right)^2}{b}+\frac{\left(\frac{c}{ca+c+1}\right)^2}{c}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\right)^2}{a+b+c}=\frac{1}{a+b+c}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Bài 4 nha
Áp dụng BĐT cô si ta có
\(\frac{1}{x^2}+x+x\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}.x.x}=3.\)
Tương tự với y . \(A\ge6\)dấu = xảy ra khi x=y=1
Nếu không áp dụng BĐT thì chuyển vế cũng được nhưng hơi dài :
Mình thử làm thôi nhé :
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{2}{1+ab}\)
\(=\frac{2+a^2+b^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}-\frac{2}{\left(1+ab\right)}\)
\(=\frac{2+a^2+b^2-2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\)
\(=\frac{2+a^2+b^2-2-2b^2-2a^2-2\left(ab\right)^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\)
\(=\frac{-\left(a^2+b^2+2a^2b^2\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\)
....
Giải bất mà không được dùng bất ? Vô lý thế ??