K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
6 tháng 2 2020

\(\left\{{}\begin{matrix}a+ab+b=3\\b+bc+c=8\\c+ca+a=15\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+ab+b+1=4\\b+bc+c+1=9\\c+ca+a+1=16\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+1\right)\left(b+1\right)=4\\\left(b+1\right)\left(c+1\right)=9\\\left(c+1\right)\left(a+1\right)=16\end{matrix}\right.\) (1)

Nhân vế với vế \(\Rightarrow\left[\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\right]^2=\left(24\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=24\) (2)

Lại chia vế với vế của (2) cho lần lượt các pt của (1) ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}c+1=6\\a+1=\frac{8}{3}\\b+1=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{5}{3}\\b=\frac{1}{2}\\c=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b+c=\frac{43}{6}\)

\(\hept{\begin{cases}a+ab+b=3\\b+bc+c=8\\c+ca+a=15\end{cases}}\)    \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a+ab+b+1=4\\b+bc+c+1=9\\c+ca+a+1=16\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(a+1\right)\left(b+1\right)=4\\\left(b+1\right)\left(c+1\right)=9\\\left(c+1\right)\left(a+1\right)=16\end{cases}}\) \(\left(1\right)\)

Nhân vế với vế  \(\Rightarrow\left[\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\right]^2=\left(24^2\right)\)

                         \(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=24\)\(\left(2\right)\)

Chia vế với vế của \(\left(2\right)\)cho lần lượt các pt của \(\left(1\right)\), ta được : 

\(\hept{\begin{cases}a+1=\frac{8}{3}\\b+1=\frac{3}{2}\\c+1=6\end{cases}}\) \(\Rightarrow\) \(\hept{\begin{cases}a=\frac{5}{3}\\b=\frac{1}{2}\\c=5\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a+b+c=\frac{43}{6}\)

5 tháng 1 2023

- Theo BĐT Cauchy ta có:

\(\sqrt{a.1}\le\dfrac{a+1}{2}\)

\(\sqrt{b.1}\le\dfrac{b+1}{2}\)

\(\sqrt{c.1}\le\dfrac{c+1}{2}\)

\(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\)

\(\sqrt{bc}\le\dfrac{b+c}{2}\)

\(\sqrt{ca}\le\dfrac{c+a}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le\dfrac{3\left(a+b+c\right)+3}{2}=\dfrac{3.3+3}{2}=6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Mà ta có: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=6\)

\(\Rightarrow a=b=c=1\)

\(M=\dfrac{a^{30}+b^4+c^{1975}}{a^{30}+b^4+c^{2023}}=\dfrac{1^{30}+1^4+1^{1975}}{1^{30}+1^4+1^{2023}}=1\)

5 tháng 1 2023

chờ bạn trả lời xong thì tui nghĩ ra hết chục bài thế rùi

NV
22 tháng 3 2021

Đề đúng không em nhỉ?

Đề bài thế này vẫn tính được a;b;c, nhưng số rất xấu (căn thức, lớp 7 chưa học)

Biểu thức thứ hai: \(b+bc+c=5\) phải là \(b+bc+c=8\) hoặc 3; 15; 24; 35; 48... gì đó mới hợp lý, nghĩa là cộng thêm 1 phải là 1 số chính phương

8 tháng 3 2023

Ta có: \(\dfrac{a^3+ab^2}{a^2+b+b^2}=a-\dfrac{ab}{a^2+b+b^2}\ge a-\dfrac{\sqrt[3]{a}}{3}\)

Tương tự: 

\(\Rightarrow VT\ge a+b+c-\dfrac{\Sigma\sqrt[3]{a}}{3}=3-\dfrac{\Sigma\sqrt[3]{a}}{3}\)

Áp dụng BĐT cô si chi 3 số dương, ta có:

\(a+1+1\ge3\sqrt[3]{a}\Rightarrow\dfrac{\sqrt[3]{a}}{3}\le\dfrac{a+2}{9}\)

Tương tự:

\(\Rightarrow VT\ge3-\dfrac{a+b+c+6}{9}=3-1=2\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1