Cho a,b,c la ba so duong va \(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\).CMR :\(\frac{a+b}{2\cdot a-b}+\frac{c+b}{2\cdot c-b}\ge4\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 8 2016
Bài 1 :
a) Ta có : \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) , \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) , \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) hay \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge8abc\)
3 tháng 12 2017
Có \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=4\)=> \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}=4\)
=>\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\frac{a+b+c}{abc}=4\)
=>\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\)
VM
20 tháng 9 2019
Ta có: \(\frac{a}{a'}+\frac{b}{b'}=1\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a'}.\frac{b}{b'}+\frac{b'}{b}.\frac{b}{b'}=\frac{b}{b'}.\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{a'b'}+1=\frac{b}{b'}\) (1).
\(\frac{b}{b'}+\frac{c'}{c}=1\)
\(\Rightarrow\frac{b}{b'}=1-\frac{c'}{c}\) (2).
Từ (1) và (2) => \(\frac{ab}{a'b'}=-\frac{c'}{c}\)
\(\Rightarrow abc=-a'b'c'\)
\(\Rightarrow abc+a'b'c'=0\left(đpcm\right).\)
Vậy \(abc+a'b'c'=0.\)
Chúc bạn học tốt!
9 tháng 11 2018
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)
=> \(\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)
a, Ta có:\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{bk-b}{bk+b}=\frac{b.\left(k-1\right)}{b.\left(k+1\right)}=\frac{k-1}{k+1}\left(1\right)\)
Lại có \(\frac{c-d}{c+d}=\frac{dk-d}{dk+d}=\frac{d.\left(k-1\right)}{d.\left(k+1\right)}=\frac{k-1}{k+1}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => ĐPCM
b, Ta có \(\frac{a.b}{c.d}=\frac{bk.b}{dk.d}=\frac{b^2}{d^2}\left(1\right)\)
Lại có \(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}=\frac{\left(bk+b\right)^2}{\left(dk+d\right)^2}=\frac{b^2.\left(k+1\right)^2}{d^2.\left(k+1\right)^2}=\frac{b^2}{d^2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => ĐPCM
17 tháng 8 2016
Đề đúng : Cho a,b,c > 0 và \(a+b+c\le1\)
CMR : \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9\)
Đặt \(x=a^2+2bc,y=b^2+2ac,z=c^2+2ab\)
Áp dụng bđt Bunhiacopxki , ta có: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(\sqrt{\frac{1}{x}.x}+\sqrt{\frac{1}{y}.y}+\sqrt{\frac{1}{z}.z}\right)^2=9\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) hay \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\)
17 tháng 8 2016
Ta thấy: \(\left(a^2+2bc\right)+\left(b^2+2ac\right)+\left(c^2+2ab\right)=\left(a+b+c\right)^2\le1\)
Sử dụng Cosi 3 số ta suy ra
\(VT\ge\left[\left(a^2+2bc\right)+\left(b^2+2ac\right)+\left(c^2+2ab\right)\right]\left(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\right)\)
\(\ge3\sqrt[3]{\left(a^2+2bc\right)\left(b^2+2ac\right)\left(c^2+2ab\right)}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2+2bc}\cdot\frac{1}{b^2+2ac}\cdot\frac{1}{c^2+2ab}}=9\) (Đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi\(\begin{cases}a+b+c=1\\a^2+2bc=b^2+2ac=c^2+2ab\end{cases}\)\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
21 tháng 2 2022
\(\Leftrightarrow\left(2a+13b\right)\left(3c-7d\right)=\left(2c+13d\right)\left(3a-7b\right)\)
\(\Leftrightarrow6ac-14ad+39bc-91bd=6ac-14bc+39ad-91bd\)
\(\Leftrightarrow-14ad+14bc=39ad-39bc\)
\(\Leftrightarrow-14\left(ad-bc\right)=39\left(ad-bc\right)\)
=>ad-bc=0
=>ad=bc
hay a/b=c/d
K
3 tháng 10 2018
Đặt : \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)
\(\Rightarrow a=bk;c=dk\)
\(\Rightarrow\frac{7b^2k^2+3bkb}{11b^2k^2-8b^2}=\frac{7d^2k^2+3dkd}{11d^2k^2-8d^2}\)
\(\Rightarrow\frac{b^2\left(7k^2+3k\right)}{b^2\left(11k^2-8\right)}=\frac{d^2\left(7k^2+3k\right)}{d^2\left(11k^2-8\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{7k^2+3k}{11k^2-8}=\frac{7k^2+3k}{11k^2-8}\left(đpcm\right)\)
dit me
Đặt \(\left(\frac{a}{b};\frac{c}{b}\right)=\left(x;y\right)\) ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\)
\(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}=\frac{\frac{a}{b}+1}{\frac{2a}{b}-1}+\frac{\frac{c}{b}+1}{\frac{2c}{b}-1}=\frac{x+1}{2x-1}+\frac{y+1}{2y-1}\)
\(=1+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2x-1}+\frac{1}{2y-1}\right)=1+\frac{3}{2}.\frac{2x+2y-2}{4xy-2\left(x+y\right)+1}=1+3.\frac{x+y-1}{1}\ge4\)
Do \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\Rightarrow x+y\ge2\)
đpcm