Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a b c=1. Chứng minh rằng:$\frac{a}{a b^2}$ $\frac{b}{b c^2}$ $\frac{c}{c a^2}$

CN

Cô nàng giấu tên

2 tháng 1 2020 - olm

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:$\frac{a}{a+b^2}$+$\frac{b}{b+c^2}$+$\frac{c}{c+a^2}$< $\frac{1}{4}$($\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$)Gợi ý: Viết a+b^2 = a(a+b+c) +b^2 . Sử dụng bđt cộng mẫu ngượcGiúp mk vs nha mn. Mk đg cần gấp trước 19h tối nay...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

4

CN

Cô nàng giấu tên

2 tháng 1 2020

Giúp mk vs mn ơi. Mk cx chưa cần vội lm trước 22h nha. Yêu mn nhiều lm

Đúng(0)

CN

Cô nàng giấu tên

3 tháng 1 2020

mn ơi giúp mk vs

Đúng(0)

NM

NGUYỄN MINH HUY

5 tháng 4 2021

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:

$\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\ge3$

#Toán lớp 11

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

5 tháng 4 2021

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\text{VT}=\sum \frac{a+1}{b^2+1}=\sum [(a+1)-\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}]=\sum (a+1)-\sum \frac{b^2(a+1)}{b^2+1}$

$=6-\sum \frac{b^2(a+1)}{b^2+1}\geq 6-\sum \frac{b^2(a+1)}{2b}=6-\sum \frac{ab+b}{2}$

$=6-\frac{\sum ab+3}{2}\geq 6-\frac{\frac{1}{3}(a+b+c)^2+3}{2}=6-\frac{3+3}{2}=3$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Đúng(3)

NH

Nguyễn Hải Minh

7 tháng 8 2021 - olm

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{a}{2a+b^{2}}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq \frac{1}{7}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

#Toán lớp 9

1

LT

Lê Tài Bảo Châu

9 tháng 8 2021

Ta có: $2a+b^2=2a\left(a+b+c\right)+b^2=b^2+2a^2+2ab+2ac$

$\ge4ab+2ac+a^2$

$\Rightarrow\frac{a}{2a+b^2}\le\frac{a}{4ab+2ac+a^2}=\frac{1}{4b+2c+a}$

$\le\frac{1}{49}.\frac{49}{4b+2c+a}=\frac{1}{49}.\frac{\left(4+2+1\right)^2}{4b+2c+a}$

$\le\frac{1}{49}\left(\frac{16}{4b}+\frac{4}{2c}+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{49}\left(\frac{4}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{a}\right)$

CMTT: $\frac{b}{2b+c^2}\le\frac{1}{49}\left(\frac{4}{c}+\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right);\frac{c}{2c+a^2}\le\frac{1}{49}\left(\frac{4}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)$

$\Rightarrow\frac{a}{2a+b^2}+\frac{b}{2b+c^2}+\frac{c}{2c+a^2}\le\frac{1}{7}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$( đpcm )

Đúng(0)

MS

Mo Salah

30 tháng 5 2018 - olm

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1

Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{1}{2}$

#Toán lớp 9

1

PQ

Pham Quoc Cuong

30 tháng 5 2018

Ta có; $\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a+b}.\frac{a+b}{4}}=a$

Tương tự : $\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge b$

$\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge c$

Cộng từng vế ta có:

$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c$

$\Leftrightarrow\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}$

Đúng(0)

TM

thay mark

29 tháng 6 2015 - olm

cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. chứng minh rằng $\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=\frac{1}{2}$

#Toán lớp 8

1

TH

Thái Hồ

29 tháng 6 2015

Cách 2

Vì a,b,c dương nên áp dụng BĐT Cô-si ta có

$\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}>=2\sqrt{\frac{a^2}{a+b}.\frac{a+b}{4}=a}$

$\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}>=2\sqrt{\frac{b^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}=b}$

$\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}>=2\sqrt{\frac{c^2}{c+a}.\frac{c+a}{4}=c}$

=> $\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}>=a+b+c$

<=> $\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}$

Đúng(0)

HM

Hà Minh Hiếu

21 tháng 10 2017 - olm

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a.b.c = 1

Chứng minh rằng : $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

#Toán lớp 9

0

NN

Nấm Nấm

31 tháng 8 2019 - olm

2.Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a² + b²+ c²= 1. Chứng minh: $\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{a^2+b^2}\le\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3$ 1. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh $\frac{a}{1+b-a}+\frac{b}{1+c-b}+\frac{c}{1+a-c}\ge1$

#Toán lớp 10

1

PM

Phùng Minh Quân

31 tháng 8 2019

$sigma\frac{a}{1+b-a}=sigma\frac{a^2}{a+ab-a^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=1$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

$\frac{1}{b^2+c^2}=\frac{1}{1-a^2}=1+\frac{a^2}{b^2+c^2}\le1+\frac{a^2}{2bc}$

Tương tự cộng lại quy đồng ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Đúng(0)

K

Kuramajiva

30 tháng 12 2020

Câu 1: Chứng minh $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(n-1)n}$ với ∀n∈$N^*$Câu 2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{a^4+b^4+c^4}{a+b+c}\geq abc$.Câu 3: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng: $\sqrt{a^6+b^6+1}+\sqrt{b^6+c^6+1}+\sqrt{c^6+a^6+1}\geq 3\sqrt{3}$Câu 4: Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng: $a^3+b^3+c^3\geq 3$Câu 5:...

Đọc tiếp

#Toán lớp 10

3

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

30 tháng 12 2020

1. Đề thiếu

2. BĐT cần chứng minh tương đương:

$a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)$

Ta có:

$a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)$ (đpcm)

3.

Ta có:

$\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2$

$\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)$

$VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)$

Lại có:

$a^3+b^3+1\ge3ab$ ; $b^3+c^3+1\ge3bc$ ; $c^3+a^3+1\ge3ca$

$\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3$

$\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$

Đúng(2)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

30 tháng 12 2020

4.

Ta có:

$a^3+1+1\ge3a$ ; $b^3+1+1\ge3b$ ; $c^3+1+1\ge3c$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3$

5.

Ta có:

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}$ ; $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}$ ; $\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}$

$\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1$

Đúng(1)

NM

Nguyễn Minh Huy

5 tháng 4 2021 - olm

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:

$\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\ge3$

#Toán lớp 11

1

DD

Đoàn Đức Hà

Giáo viên

5 tháng 4 2021

Theo bất đẳng thức AM - GM ta có:

$\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{b^2+1}\ge a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}$

Làm tương tự có hai bất đẳng thức với $\frac{b+1}{c^2+1}$và $\frac{c+1}{a^2+1}$sau đó cộng lại ta có:

$\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\left(a+1-\frac{ab+b}{2}\right)+\left(b+1-\frac{bc+c}{2}\right)+\left(c+1-\frac{ca+a}{2}\right)$

$=3+\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}$.

Nếu ta chứng minh được $a+b+c-ab-bc-ca\ge0$ta sẽ có đpcm.

Ta có: $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)$

$\Leftrightarrow a+b+c\ge ab+bc+ca$.

Do đó ta có đpcm.

Đúng(0)

AV

An Vy

6 tháng 10 2019 - olm

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3
Chứng minh rằng : $\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}>\frac{2018}{2003}$

#Toán lớp 9

1

PM

Phùng Minh Quân

6 tháng 10 2019

$sigma\frac{a}{1+b^2}=sigma\left(a-\frac{ab^2}{1+b^2}\right)\ge sigma\left(a\right)-sigma\frac{ab}{2}\ge3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}>\frac{2018}{2003}$

Đúng(0)

NP

Nguyễn Phương Thảo

23 tháng 5 2020 - olm

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: a+b+c=abc. Chứng minh rằng:

$\frac{b}{a\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{b\sqrt{c^2+1}}+\frac{a}{c\sqrt{a^2+1}}\ge\frac{3}{2}$

#Toán lớp 9

0

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP