Giả sử đa thức \(f\left(x\right)=x^{2018}+mx^{2018}+m\) (m ≠ 0) có 2018 nghiệm phân biệt. CMR: Trong các nghiệm đó tồn tại ít nhất 1 nghiệm \(x_0\) thỏa mãn \(\left|x_0\right|\le\sqrt{2}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(a^2+b^2+c^2+1\right)x=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2+1}\)
Ta có:
\(x^2-1=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2+1\right)^2}-1=\dfrac{\left(ab+bc+ca-a^2-b^2-c^2-1\right)\left(ab+bc+ca+a^2+b^2+c^2+1\right)}{\left(a^2+b^2+c^2+1\right)^2}\)
\(=\dfrac{\left[-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2-2\right]\left[\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2+2\right]}{4\left(a^2+b^2+c^2+1\right)^2}< 0\)
\(\Rightarrow x^2-1< 0\Rightarrow\left|x\right|< 1\)
\(\left(x^2-25\right)f\left(x+1\right)=\left(x-2\right).f\left(x-1\right)\) (1)
Thay \(x=2\) vào (1) ta được:
\(-21.f\left(3\right)=0.f\left(1\right)=0\Rightarrow f\left(3\right)=0\)
\(\Rightarrow x=3\) là 1 nghiệm của \(f\left(x\right)\)
Thay \(x=5\) vào (1):
\(0.f\left(6\right)=3.f\left(4\right)\Rightarrow f\left(4\right)=0\)
\(\Rightarrow x=4\) là 1 nghiệm
Thay \(x=-5\) vào (1):
\(0.f\left(-4\right)=-7.f\left(-6\right)\Rightarrow f\left(-6\right)=0\)
\(\Rightarrow x=-6\) là 1 nghiệm
Vậy \(f\left(x\right)\) có ít nhất 3 nghiệm là \(x=\left\{3;4;-6\right\}\)
Bài 1.
\(\left\{{}\begin{matrix}x-3y=5-2m\\2x+y=3\left(m+1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3y=5-2m\\6x+3y=9m+9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=7m+14\\x-3y=5-2m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m+2\\m+2-3y=5-2m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m+2\\-3y=-3m+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m+2\\y=m-1\end{matrix}\right.\)
\(x_0^2+y_0^2=9m\)
\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2+\left(m-1\right)^2=9m\)
\(\Leftrightarrow m^2+4m+4+m^2-2m+1-9m=0\)
\(\Leftrightarrow2m^2-7m+5=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\m=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\) ( Vi-ét )
a, Ta có : \(mx^3-x^2+2x-8m=0\)
\(\Leftrightarrow m\left(x^3-8\right)-\left(x^2-2x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)-x\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(mx^2+2mx+4m-x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(mx^2+x\left(2m-1\right)+4m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\mx^2+x\left(2m-1\right)+4m=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\left(TM\right)\\mx^2+x\left(2m-1\right)+4m=0\left(I\right)\end{matrix}\right.\)
- Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn 1
<=> Phương trình ( I ) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 .
- Xét phương trình ( I ) có : \(\Delta=b^2-4ac=\left(2m-1\right)^2-4m.4m\)
\(=4m^2-4m+1-16m^2=-12m^2-4m+1\)
- Để phương trình ( I ) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta>0\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}< m< \dfrac{1}{6}\) ( * )
- Theo vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{1-2m}{m}\\x_1x_2=4\end{matrix}\right.\)
- Để phương trình ( I ) có nghiệm lớn hơn 1 \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-1+x_2-1>0\\\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1-4m}{m}>0\\5-\dfrac{1-2m}{m}>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1-4m}{m}>0\\\dfrac{7m-1}{m}>0\end{matrix}\right.\)
- Lập bảng xét dấu ( đoạn này làm tắt tí nha :vv )
Từ bảng xét dấu ta được : \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>\dfrac{1}{7}\end{matrix}\right.\\0< m< \dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
- Kết hợp điều kiện ( * ) ta được :\(\dfrac{1}{7}< m< \dfrac{1}{6}\)
Vậy ...
b, - Xét phương trình trên có : \(\Delta^,=b^{,2}-ac=\left(m-2\right)^2-\left(m-1\right)\left(m-3\right)\)
\(=m^2-4m+4-m^2+m+3m-3=1>0\)
Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
Theo vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-2\right)}{m-1}\\x_1x_2=\dfrac{m-3}{m-1}\end{matrix}\right.\)
- Để \(x_1+x_2+x_1x_2< 1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(m-2\right)+\left(m-3\right)-\left(m-1\right)}{m-1}< 0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2m-6}{m-1}< 0\)
- Đặt \(\dfrac{2m-6}{m-1}=f\left(m\right)\)
Cho f(m) = 0 => m = 3
m-1 = 0 => m = 1
- Lập bảng xét dầu :
m.............................1..........................................3...................................
2m-6............-..........|......................-.....................0...................+.................
m-1..............-............0...................+.....................|....................+.................
f(m).............+...........||..................-........................0................+....................
- Từ bảng xét dầu ta được : Để \(f\left(m\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow1< m< 3\)
Vậy ...
\(\left\{{}\begin{matrix}x_0-my_0=2-4m\\mx_0+y_0=3m+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0-2=m\left(y_0-4\right)\\y_0-1=m\left(3-x_0\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x_0-2\right)\left(3-x_0\right)=m\left(y_0-4\right)\left(3-x_0\right)\\\left(y_0-1\right)\left(y_0-4\right)=m\left(y_0-4\right)\left(3-x_0\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x_0-2\right)\left(3-x_0\right)=\left(y_0-1\right)\left(y_0-4\right)\)
giúp mk nhaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa