Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD).Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD ở E và cắt CD ở K. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC ở F và cắt CD ở I. Chứng minh rằng:
a) EF // CD
b) AB2 = CD.EF
Lời giải:
a)
Từ ĐKĐB dễ thấy các tứ giác $ABID, ABCK$ là hình bình hành do có các cặp cạnh đối song song với nhau
\(\Rightarrow AB=DI; AB=CK\Rightarrow DI=CK\)
\(\Rightarrow DK=CI\)
Áp dụng định lý Ta-lét:
$AB\parallel DK\Rightarrow \frac{DE}{EB}=\frac{DK}{AB}$
$AB\parallel CI\Rightarrow \frac{IF}{FB}=\frac{CI}{AB}$
Mà $CI=DK$ (cmt)
$\Rightarrow \frac{DE}{EB}=\frac{IF}{FB}$. Theo định lý Ta-let đảo suy ra $EF\parallel CD$
b)
Từ các đường thẳng song song, và $DI=CK=AB$, áp dụng định lý Ta-let:
\(\frac{AB}{EF}=\frac{DI}{EF}=\frac{BD}{BE}=\frac{BE+ED}{BE}=1+\frac{ED}{BE}=1+\frac{DK}{AB}=1+\frac{CD-CK}{AB}\)
\(=1+\frac{CD-AB}{AB}=\frac{CD}{AB}\)
\(\Rightarrow AB^2=EF.CD\) (đpcm)
Hình vẽ: