Cho x,y,z thỏa mãn: \(\hept{\begin{cases}x=y^3+y^2+y-2\\y=z^3+z^2+z-2\\z=x^3+x^2+x-2\end{cases}}\)
Tính P=x+2y2+3z3
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2+y^2+z^2=1\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2=1-\left(y^2+z^2\right)\le1\)\(\Leftrightarrow\)\(-1\le x\le1\)\(\Leftrightarrow\)\(0\le1-x\le2\)
Tương tự, ta cũng có \(0\le1-y\le2;0\le1-z\le2\)
Lại có : \(x^2+y^2+z^2-x^3-y^3-z^3=1-1\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2\left(1-x\right)+y^2\left(1-y\right)+z^2\left(1-z\right)=0\)
Mà \(1-x;1-y;1-z\ge0\) nên \(x^2\left(1-x\right);y^2\left(1-y\right);z^2\left(1-z\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2\left(1-x\right)=y^2\left(1-y\right)=z^2\left(1-z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=y=z=0\left(loai\right)\\x=y=z=1\left(nhan\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(P=xyz=1.1.1=1\)
...
Câu hỏi của Minh Triều - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em xem bài làm tương tự ở link này nhé!!! Chú ý thay kết quả khác nhé!
bé hơn hoặc bằng 11 nha bn
bn làm ko đc thì đừng ns
thầy mik làm đc ra rồi
nhưng bắt mik làm lại thôi bn à
Ta có \(x^2+y^2+z^2=1\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2\le1\\y^2\le1\\z^2\le1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow-1\le x,y,z\le1\) (*)
Lấy pt sau trừ pt trước ta được \(x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)+z^2\left(z-1\right)=0\)
Mà từ (*) ta suy ra \(\hept{\begin{cases}x^2\left(x-1\right)\ge0\\y^2\left(y-1\right)\ge0\\z^2\left(z-1\right)\ge0\end{cases}}\)
Do vậy dấu "=" chỉ xảy ra khi \(x^2\left(x-1\right)=y^2\left(y-1\right)=z^2\left(z-1\right)=0\)
Xảy ra 4 trường hợp :
+ TH1 : Nếu x = y = z = 0 => \(x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3=0\ne1\)không thỏa mãn - loại
+ TH2 : Nếu \(x=y=z=1\)=> \(x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3=3\ne1\)không thỏa mãn - loại
+ TH3 : Nếu hai trong bộ ba số (x;y;z) nhận giá trị là 1 và số còn lại nhận giá trị bằng 0 thì \(x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3=2\ne1\) không thỏa mãn - loại
+ TH4 : Nếu hai trong bộ ba số (x;y;z) nhận giá trị là 0 và số còn lại nhận giá trị bằng 1 thì :
\(x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3=1\) thỏa mãn - nhận
Do trong ba số này vai trò của x,y,z là bình đẳng nên ta có thể chọn x = y = 0 , z = 1
=> xyz = 0 => P = 0
Cộng 1 vào 2 vế của 3 pt ta được:
x+xy+y+1=1+1 <=> (x+1)(y+1)=2
y+yz+z+1=3+1 <=> (y+1)(z+1)=4
z+xz+z+1=7+1 <=> (z+1)(x+1)=8
Ta có: (x+1)(y+1)(y+1)(z+1)=(y+1)2 .8=2.4=8 => (y+1)2 =1
(y+1)(z+1)(z+1)(x+1)=(z+1)2 .2=4.8=32 => (z+1)2 =16
(z+1)(x+1)(x+1)(y+1)=(x+1)2 .4=2.8=16 => (x+1)2 =4
Do x;y;z không âm nên x= 1; y= 0; z= 3
=> M = 1 +02 +32 =10
Ta có:
\(\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}\\x^2+y^2+z^2=17\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\2\left(xy+yz+zx\right)=\frac{2xyz}{3}\\x^2+y^2+z^2=17\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\2\left(xy+yz+zx\right)=\frac{2xyz}{3}\\\left(x+y+z\right)^2=17+\frac{2xyz}{3}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\xy+yz+zx=-4\\xyz=-12\end{cases}}\)
Từ đây ta có x, y, z sẽ là 3 nghiệm của phương trình
\(X^3-3X^2-4X+12=0\)
\(\Leftrightarrow\left(X-3\right)\left(X-2\right)\left(X+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}X=3\\X=2\\X=-2\end{cases}}\)
Vậy các bộ x, y, z thỏa đề bài là: \(\left(x,y,z\right)=\left(-2,2,3;-2,3,2;2,-2,3;2,3,-2;3,2,-2;3,-2,2\right)\)