Cho tam giác ABC thỏa mãn \(\widehat{BAC}=2.\widehat{ABC}\), M là trung điểm cạnh AB. Đường thẳng qua B vuông góc với BC cắt đường thẳng AC tại E. Chứng minh rằng MA là phân giác của \(\widehat{CME}\).
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a)DC//BE (cùng vuông góc với AC);DB//CE (cùng vuông góc với AB) => là hình bình hành
b) hình bình hình thì 2 đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường hay DE cắt BC tại M và M là trung điểm DE
Để DE đi qua A tức là D;E;A thằng hàng
mà AE là một đường cao hay AE vuông góc BC nên D;E;A thẳng hàng tức là DE vuông góc với BC
hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi
c) tứ giác ABDC có góc DBA +góc DCA =180 nên góc BAC+ góc BDC=180
Mượn hình của bạn Manh nhé!
a) Ta có: DB // CK ( \(\perp\)AB)
=> DB // CE (1)
BH // DC ( \(\perp\) AC )
=> DC // BE (2)
Từ (1) ; (2) => DBEC là hình bình hành.
b) +) Theo câu a) DBEC là hình bình hành
=> Hai đường chéo BC và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà M là trung điểm BC => M là trung điểm DE.
+) CK; BH là hai đường cao của \(\Delta ABC\) và CK ; BH cắt nhau tại E.
=> E là trực tâm của \(\Delta ABC\)
=> AE là đường cao hạ từ A. (3)
Theo giả thiết DE qua A mà DE cắt BC tại M là trung điểm cạnh BC
=> AE qua trung điểm của cạnh BC
=> AE là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) (4)
Từ (3); (4) => \(\Delta ABC\) cân tại A
c) Em tham khảo bài làm bạn Manh.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\widehat A = 120^\circ \)nên \(\widehat {DAE} = 60^\circ \)(AD là phân giác của góc A).
Ta có: DE // AB nên \(\widehat {CED} = \widehat {EAB} = 120^\circ \)(hai góc đồng vị). Ba điểm A, E, C thẳng hàng nên góc AEC bằng 180°
\(\Rightarrow \widehat {AED} = 180^\circ - \widehat {CED} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
Tam giác ADE có \(\widehat {EAD} = \widehat {ADE}\) (\(=60^0\)) nên là tam giác cân.
Mà \(\widehat {DEA} = 60^\circ \)
Do đó, tam giác ADE đều ( tam giác cân có 1 góc bằng \(60^0\)).
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a ) AH là phân giác của \(\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{EAH}=\widehat{FAH}\)
Xét 2 tam giác vuông ΔEAH và ΔFAH có:
AH chung
\(\widehat{EAH}=\widehat{FAH}\)
=> ΔEAH = ΔFAH (cạnh góc vuông - góc nhọn)
=> EH = FH (đpcm)
b ) \(\widehat{ACB}\) là góc ngoài tại C của ΔMCF
\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{CFM}+\widehat{CMF}\)
\(\widehat{AEF}\) là góc ngoài tại E của ΔMBE
\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{EMB}+\widehat{ABC}\)
Lại có : \(\widehat{CFM}=\widehat{AEF}\) (do ΔEAH = ΔFAH)
\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{EMB}+\widehat{ABC}+\widehat{CMF}\)
Mặt khác \(\widehat{EMB}=\widehat{CMF}\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow\widehat{ACB}=2.\widehat{EMB}+\widehat{ABC}\)
Hay \(2.\widehat{BME}=\widehat{ACB}-\widehat{ABC}\)( ĐPCM )
c, ΔAHE vuông tại H
\(\Rightarrow HE^2+AH^2=AE^2\)
ΔEAH = ΔFAH ⇒ HE = HF => H là trung điểm của FE
\(\Rightarrow HE=\frac{FE}{2}\)
\(\Rightarrow HE^2=\left(\frac{FE}{2}\right)^2=\frac{FE^2}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{FE^2}{4}+AH^2=AE^2\left(đpcm\right)\)
, Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt EF ở D.
CD ║ AB \(\Rightarrow\widehat{CDF}=\widehat{AEH}\) (đồng vị)
mà \(\widehat{AFH\:}=\widehat{AEH}\)(ΔEAH = ΔFAH)
\(\Rightarrow\widehat{CDF}=\widehat{AFH\:}\)
=> ΔCDF cân tại C
=> CD = CF
Dễ dàng chứng minh được ΔMBE = ΔMCD (g.c.g)
⇒ BE = CD mà CD = CF
⇒ BE = CF (đpcm)
Gọi AD là phân giác trong của \(\Delta\)ABC. Kéo dài DM cắt BE và CA lần lượt tại N và F, AN cắt BC tại P.
Dễ thấy \(\Delta\)ADB cân tại D có trung tuyến DM, suy ra DM là trung trực của AB
Do vậy ^DAN = ^DBN = 90o suy ra AP vuông góc AD hay AP là phân giác ngoài của \(\Delta\)ABC
Từ đó \(\left(BCPD\right)=-1\). Áp dụng phép chiếu xuyên tâm N: \(\left(BCPD\right)\rightarrow\left(ECFA\right)\)
Khi đó (ECFA) là hàng điều hòa. Mà ^AMF = 90o nên MA chính là phân giác của ^CME (đpcm).