Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}=1\) biết abc =1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MD
2
6 tháng 5 2019
Thay abc = 1 vào biểu thức ta có
\(\frac{a.abc}{ab+abc.a+abc}+\frac{b}{bc+b.acb+abc}+\frac{c}{ac+c+1}\)
= \(\frac{a^2bc}{ab+a^2bc+abc}+\frac{b}{bc+ab^2c+abc}+\frac{c}{ac+c+1}\)
= \(\frac{a^2bc}{ab\left(ac+c+1\right)}+\frac{b}{b\left(ac+c+1\right)}+\frac{c}{ac+c+1}\)
= \(\frac{ac}{\left(ac+c+1\right)}+\frac{1}{\left(ac+c+1\right)}+\frac{c}{ac+c+1}\)
= \(\frac{ac+c+1}{ac+c+1}\)
= 1 (đpcm)
Nếu có gì không hiểu nhớ nt cho mình nha
L1
2
11 tháng 12 2019
Em xem phần trả lời của bạn Giang nhé Câu hỏi của Vu Hoang - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
11 tháng 12 2019
1 cách khác:
Đặt \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}\Rightarrow abc=1\left(TMGT\right)\)
Khi đó:
\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{1}{b+1+\frac{1}{a}}+\frac{1}{c+1+\frac{1}{b}}+\frac{1}{a+1+\frac{1}{c}}\)
\(=\frac{1}{\frac{y}{z}+1+\frac{y}{x}}+\frac{1}{\frac{z}{x}+1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{\frac{x}{y}+1+\frac{x}{z}}\)
\(=\frac{xz}{xy+yz+zx}+\frac{xy}{xy+yz+zx}+\frac{yz}{xy+yz+zx}=\frac{xy+yz+zx}{xy+yz+zx}=1\)
12 tháng 6 2017
do abc=1 nên \(\frac{a}{ab+a+1}\)=\(\frac{a}{ab+a+abc}\)=\(\frac{a}{a\left(bc+b+1\right)}\)=\(\frac{1}{bc+b+1}\)
\(\frac{c}{ac+c+1}\)=\(\frac{bc}{abc+bc+b}\)(nhân cả 2 vế cho b)=\(\frac{bc}{bc+b+1}\)
=>\(\frac{a}{ab+a+1}\)+\(\frac{b}{bc+b+1}\)+\(\frac{c}{ac+c+1}\)=\(\frac{bc+b+1}{bc+b+1}\)=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 6 2019
Ta chứng minh được
\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow P\le\sum\frac{ab}{ab\left(a^2+b^2\right)+ab}=\sum\frac{1}{a^2+b^2+1}\)
Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)
Ta lại chứng minh được:
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)
\(\Rightarrow P\le\sum\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\sum\frac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\sum\frac{z}{x+y+z}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Đây là bài thi vào 10 của Thanh Hóa thì phải
9 tháng 11 2016
Đặt \(T=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ac}\) (*)
Ta có: \(abc=1\Rightarrow c=\frac{1}{ab}\).Thay vào (*) ta có:
\(T=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+\frac{1}{a}}+\frac{1}{1+\frac{1}{ab}+\frac{1}{b}}\)
\(=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{\frac{a+ab+1}{a}}+\frac{1}{\frac{ab+1+a}{ab}}\)
\(=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{a}{a+ab+1}+\frac{ab}{ab+1+a}\)
\(=\frac{1+a+ab}{1+a+ab}=1=VP\) (Đpcm)
4 tháng 4 2017
Theo bài ra ta có : \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(\frac{a}{ab+a+1}=\frac{a}{ab+a+abc}\left(1=abc\right)=\frac{1}{b+1+bc}\)(chia cả tử lẫn mẫu cho a) (1)
\(\frac{c}{ac+c+1}=\frac{bc}{abc+bc+b}=\frac{bc}{1+bc+b}\)(Nhân cả tử lẫn mẫu cho b) (2)
Do đó ta có :
\(=\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{1+bc+b}=\frac{1+bc+b}{bc+b+1}=1\)(đpcm)
25 tháng 1 2020
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
25 tháng 10 2016
\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac}{abc+ac+c}+\frac{abc}{abc^2+abc+ac}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{ac}{ac+c+1}+\frac{1}{ac+c+1}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac+c+1}{ac+c+1}=1\)
\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{abc+ab+a}+\frac{abc}{aabc+abc+ab}=\)
\(=\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}+\frac{1}{ab+a+1}=1\)
Thay \(abc=1\) vào biểu thức ta có :
\(\frac{a.abc}{ab+abc.a+abc}+\frac{b}{bc+b.acb+abc}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{a^2bc}{ab+a^2bc+abc}+\frac{b}{bc+ab^2c+abc}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{a^2bc}{ab\left(ac+c+1\right)}+\frac{b}{b\left(ac+c+1\right)}+\frac{c}{ac+c+a}\)
\(=\frac{ac}{\left(ac+c+1\right)}+\frac{1}{\left(ac+c+1\right)}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{ac+c+1}{ac+c+1}\)
\(=1\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!