Tam giác ABC, tìm vị trí điểm M thuộc AB sao cho:
a) MA^2 + MC^2 đạt min
b) MA^2 + MB^2 + MC^2 đạt min
Giúp em với ạ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
24 tháng 2 2019
a) Xét \(\Delta MBD\)và \(\Delta MAC\)
có: \(\widehat{MAC}=\widehat{MBD}\)( cùng chắn cung MC)
\(\widehat{BMD}=\widehat{AMC}\)( cung AB=cung AC vì AB=AC)
=> \(\Delta MBD\)~ \(\Delta MAC\)
b) Từ câu a)_
=> \(\frac{MB}{MA}=\frac{BD}{AC}\)(1)
\(\frac{MC}{MA}=\frac{MD}{MB}\)(2)
Dễ dàng chứng minh đc:
\(\Delta BDM~\Delta ADC\)
=> \(\frac{MD}{MB}=\frac{DC}{AC}\)(3)
Từ (1), (2), (3)
=> \(\frac{MB}{MA}+\frac{MC}{MA}=\frac{BD}{AC}+\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AC}\)\(=\frac{BC}{AB}\)
c) Lấy điểm E thuộc đoạn
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 5 2019
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\)
\(P=\left(\overrightarrow{MA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MC}\right)^2\)
\(=\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)^2\)
\(=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2+2\overrightarrow{MG}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)
\(=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2\)
Mà \(GA^2+GB^2+GC^2\) cố định \(\Rightarrow P_{min}\) khi \(MG_{min}\)
\(\Rightarrow MG\perp BC\) \(\Rightarrow M\) là trung điểm BC
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 12 2022
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, D là trung điểm BC
\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}\)
Đặt \(T=MB^2+MC^2-2MA^2\)
\(T=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)^2-2\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)^2\)
\(=OB^2+OC^2-2OA^2+2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA}\right)\)
\(=2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA}\right)\)
\(=2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=4\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{AD}\)
\(=4R.AD.cos\left(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{AD}\right)\)
Do R và AD cố định \(\Rightarrow T_{min}\) khi \(cos\left(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{AD}\right)\) đạt min
\(\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{AD}\right)=-1\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MO}\) và \(\overrightarrow{AD}\) là 2 vecto ngược chiều
\(\Rightarrow\) M là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn ngoại tiếp tam giác, với d đi qua O và song song AD sao cho A và M nằm về 2 phía so với đường thẳng BC
CT
0
LD
2
28 tháng 6 2017
Xét \(\Delta MBC\)ta có:
MB+MC>BC (theo bất đẳng thức tam giác)
Mà tam giác ABC đều nên AB=BC
suy ra MB+MC>AB
Ta lại có AB>MA nên MB+MC>MA
LD
28 tháng 6 2017
Kẻ MD // BC, MF // AC, ME // AB \(\left(D\in AB,F\in BC,E\in AC\right)\)
Ta có:
\(\widehat{DBF}=\widehat{ACB}\) ( \(\Delta ABC\) đều)
\(\widehat{MFB}=\widehat{ACB}\) ( 2 góc đồng vị và MF // AC)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{DBF}=\widehat{MFB}\)
Mà MD // BF
Nên tứ giác DMFB là hình thang cân
\(\Rightarrow\)\(DF=MB\) \(\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(EF=MC\) \(\left(2\right)\)
\(DE=MA\) \(\left(3\right)\)
Xét \(\Delta DEF\) theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:
\(DF+EF>DE\) \(\left(4\right)\)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra
\(MB+MC>MA\left(đpcm\right)\)