cho a+b=2 chứng minh rằng \(a^8+b^8\ge a^7+b^7\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải
Cách giải đơn giản nhất là khai triển
\(3(a^8+b^8+c^8)\geq (a^3+b^3+c^3)(a^5+b^5+c^5)\)
\(\Leftrightarrow 2(a^8+b^8+c^8)\geq a^5(b^3+c^3)+b^5(c^3+a^3)+c^5(a^3+b^3)\)
\(\Leftrightarrow (a^3-b^3)(a^5-b^5)+(b^3-c^3)(b^5-c^5)+(c^3-a^3)(c^5-a^5)\geq 0(\star)\)
Xét \((a^3-b^3)(a^5-b^5)=(a-b)^2(a^2+b^2)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)\geq 0\) với mọi \(a,b>0\)
và tương tự với các biểu thức còn lại.
Suy ra BĐT \((\star)\) luôn đúng.
Ta có đpcm
Đây chính là một dạng của BĐT Chebyshev:
Với dãy số thực \(a_1\leq a_2\leq ....\leq a_n\) . Nếu tồn tại dãy số thực\(b_1\leq b_2\leq .... \leq b_n\) thì \(n(a_1b_1+a_2b_2+....+a_nb_n)\geq (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)\)
Câu 2:
Tương tự câu 1 thôi.
Do \(a+b=2\) nên bài toán tương đương: \(2(a^8+b^8)\geq (a^7+b^7)(a+b)\)
\(\Leftrightarrow a^8+b^8\geq a^7b+ab^7\Leftrightarrow (a^7-b^7)(a-b)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2(a^6+a^5b+....+ab^5+b^6)\geq 0(\star)\)
Xét \(Q=a^6+a^5b+a^4b^2+a^3b^3+a^2b^4+ab^5+b^6\)
\(Q=(a+b)(a^5+b^5)+a^2b^2(a^2+b^2+ab)\)
Dựa vào điều kiện \(a+b=2\) và biến đổi, ta thu được \(Q=16(2-ab)^2-8ab(2-ab)-a^3b^3\)
Đặt \(ab=t\Rightarrow Q=-t^3+24t^2-80t+64\)
\(\Leftrightarrow Q=(1-t)(t-8)^2+7t^2\)
Với mọi \(a,b\in\mathbb{R}\) ta luôn có \(ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\Rightarrow t\leq 1\). Do đó \(Q\geq 0\)
Kéo theo BĐT \((\star)\) luôn đúng, bài toán luôn đúng. Do đó ta có đpcm.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\Rightarrow a^7\left(a-b\right)+b^7\left(b-a\right)>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^7-b^7\right)>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\cdot A>=0\), với A>=0
=>Điều này luôn đúng
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(VT=1+\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{2}{1+2b}-1=2\left(\dfrac{1}{2+2a}+\dfrac{1}{1+2b}\right)\)
\(VT\ge\dfrac{8}{3+2\left(a+b\right)}\ge\dfrac{8}{3+2.2}=\dfrac{8}{7}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{4}\\b=\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a)
A=1+4+42+...+459A=1+4+42+...+459
A=(1+4+42)+(43+44+45)+...+(457+458+459)A=(1+4+42)+(43+44+45)+...+(457+458+459)
A=(1+4+42)+43(1+4+42)+...+447(1+4+42)A=(1+4+42)+43(1+4+42)+...+447(1+4+42)
A=21+43.21+...+447.21A=21+43.21+...+447.21
A=21(1+43+...+447)A=21(1+43+...+447)
⇒A⋮21
các số như 43,447,459,458........ là 4 mũ và các số đằng sau là số mũ
câu b cũng làm như vậy nhưng dổi các số và kết quả
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+7\left(a+b\right)\ge8\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+7ab\left(a+b\right)\ge8ab\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
Ta có: \(VP=8\sqrt{ab}\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\cdot2ab}\le^{am-gm}4\sqrt{ab}\left(a+b\right)^2\)
\(VT=\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2+4ab\right]\ge^{am-gm}\left(a+b\right)4\sqrt{ab}\left(a+b\right)\ge VP\)
=> ĐPCM
Cần CM : \(a^{k+1}-a^k\ge a-1\)\(\left(k\inℕ\right)\) (1)
\(\Leftrightarrow\)\(a^k\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)\left(a^k-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)^2\left(a^{k-1}-a^{k-2}+a^{k-3}-a^{k-4}+...+1\right)\ge0\) ( đúng )
=> (1) đúng
Áp dụng vào bài toán,với k = 7 ta có \(\hept{\begin{cases}a^8-a^7\ge a-1\\b^8-b^7\ge a-1\end{cases}}\Rightarrow a^8+b^8-a^7-b^7\ge a+b-2=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^8+b^8\ge a^7+b^7\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
Thay b = 2 - a vào phân tích ta được:
VT - VP =