Question

[Ánh Right]

Cho biểu thức \(P=\frac{x\sqrt{x}+26\sqrt{x}-19}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3}\)

a) Rút gọn P (Mình rút gọn rồi P=\(\frac{x+16}{\sqrt{x}+3}\))

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

c) Cho a= \(\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}\) . CMR \(\frac{64}{\left(a^2-3\right)^3}-3a\) là số nguyên.

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(P=\frac{x-9+25}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}-3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}+3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}-6\)

\(P\ge2\sqrt{\frac{25\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}+3}}-6=4\)

\(P_{min}=4\) khi \(\sqrt{x}+3=5\Rightarrow x=4\)

\(a^3=4+3a.\sqrt[3]{2^2-3}=4+3a\)

\(\Rightarrow a^3-3a=4\)

\(\Leftrightarrow a\left(a^2-3\right)=4\Rightarrow a^2-3=\frac{4}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{64}{\left(a^2-3\right)^2}-3a=\frac{64}{\left(\frac{4}{a}\right)^3}-3a=a^3-3a=4\)