Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nếu một trong các số \(x+y-z;y+z-x;z+x-y\) bằng 0 thì cả 3 số đều bằng 0 và dẫn đến \(x=y=z=0\), mâu thuẫn
Từ giả thiết ta có : \(\begin{cases}x\log y\left(y+z-x\right)=y\log x\left(z+x-y\right)\\y\log z\left(z+x-y\right)=z\log y\left(x+y-z\right)\\z\log x\left(x+y-z\right)=x\log z\left(y+z-x\right)\end{cases}\)
Xét đẳng thức thứ nhất ta có :
\(x\log y\left(y+z-x\right)=y\log x\left(z+x-y\right)\Leftrightarrow x\log y=y\log x.\frac{z+x-y}{y+z-x}\) \(\Leftrightarrow x\log y+y\log x=y\log x\left(\frac{z+x-y}{y+z-x}+1\right)\Leftrightarrow x\log y+z\log x=y\log x\frac{2z}{y+z-x}\)
Biến đổi tương tự với đẳng thức thứ hai ta có :
\(y\log z+z\log y=z\log y\frac{2z}{z+z-y}\)
Ta thấy rằng : \(x^y.y^x=y^z.z^y\Leftrightarrow x\log y+y\log x=y\log z+z\log y\)
Do đó ta cần có :
\(y\log x\frac{2z}{y+z-x}=z\log y\frac{2z}{z+x-y}\Leftrightarrow y\log x\left(z+x-y\right)=x\log y\left(y+z-x\right)\), đúng
Do đó ta được : \(x^yy^x=y^z.z^y\)
Chứng minh tương tự ta có : \(y^zz^y=z^x.x^z\)
=> Điều phải chứng minh
\(x+y+z=6\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+z\right)^2=36\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=36\)
\(\Leftrightarrow\)\(2xy+2yz+2zx=24\)
\(\Leftrightarrow\)\(2xy+2yz+2zx=2x^2+2y^2+2z^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(z-x\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z}\)
Mà \(x+y+z=6\)\(\Rightarrow\)\(x=y=z=\frac{6}{3}=2\)
Vậy \(x=y=z=2\)
Chúc bạn học tốt ~
ĐK: x + y + z = 6; \(x^2+y^2+z^2=12\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ số (1;1;1) và (x;y;z).Ta có:
\(\left(1+1+1\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
Thay \(x+y+z=6\) và ta có:
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge36\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge12\) (tmđk)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{6}{3}=2\) (*)
Từ (*) suy ra x=y=z=2
Theo bất đẳng thức 3 biến đối xứng thì ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi: x = y = z
Mà ta thấy: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=x^2+y^2+z^2=12\)
\(\Rightarrow x=y=z=2\)
Vậy x = y = z = 2
-Có |x| lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi y => y-2017 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi y => y lớn hơn hoặc bằng 2017
-Có |y| lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi z => z-2017 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi z => z lớn hơn hoặc bằng 2017
-Có |z lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x => x-2017 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x => x lớn hơn hoặc bằng 2017
=> |x| = y-2017=x => y-x=2017
=> |y| = z-2017=y => z-y=2017
=> |z| = x-2017=z => x-z=2017
=> y-x+z-y+x-z=2017
=> 0=2017 (vô lý)
=> Không có x;y;z thoả mãn
k nha
==" tớ cx làm thế đấy trang ơi, như bạn Sherry kìa, nhưng tiếc là T^T thiếu dấu bằng x lớn hơn hoặc bằng (= =+) thế là khỏi có điểm
Áp dụng bđt bunhia cho 2 bộ số (1 ; 1 ; 1) và (x ; y ; z) ta có:
(1 + 1 + 1).(x² + y² + z²) ≥ (x + y + z)²
<=> 3(x² + y² + z²) ≥ 36 < do x+y+z=6 theo đề bài >
<=> x² + y² + z² ≥ 12 => đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2
-----------------------------
2) xy/z + yz/x + zx/y ≥ x + y + z với x,y,z là các số thực dương
Áp dụng bđt cô si cho 2 số thực dương ta có:
xy/z + yz/x ≥ 2y
yz/x + zx/y ≥ 2z
xy/z + zx/y ≥ 2x
Cộng vế với vế 3bđt trên ta được :
xy/z + yz/x + zx/y ≥ x + y + z => đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z
-----------------------------------
3) x² + 5y² - 4xy + 2x - 6y +3 > 0 với mọi x , y
<=> (x² - 4xy + 4y²) + (2x - 4y) + 1 + (y² -2y + 1) + 1 > 0
<=> [(x - 2y)² + 2(x - 2y) + 1] + (y - 1)² + 1 > 0
<=> (x - 2y + 1)² + (y - 1)² + 1 > 0 => luôn đúng với mọi x,y
=> đpcm
Vì x+y+z=6 và \(x^2+y^2+z^2=12\)
Ta có \(x^2+y^2+z^2-x+y+z=12-6\)
Rút gọn: \(x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right)+z\left(z-1\right)=6\)
=> \(x+y+z=x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right)+z\left(z-1\right)\)
Tìm x \(\Rightarrow x\left(x-1\right)=x\Rightarrow x-1=1\Rightarrow x=2\)
Tìm y \(\Rightarrow y\left(y-1\right)=y\Rightarrow y-1=1\Rightarrow y=2\)
Tìm z \(\Rightarrow z\left(z-1\right)=z\Rightarrow z-1=1\Rightarrow z=2\)
Vậy \(x=y=z=2\)
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=12\\x+y+z=6\end{cases}}\)
Ta có \(\left(x+y+z\right)^2=36\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=36\)
\(\Leftrightarrow12+2xy+2yz+2xz=36\)
\(\Leftrightarrow2xy+2yz+2xz=24\Leftrightarrow xy+yz+xz=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz=12\)
Mặt khác ta có \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z\)
Vậy \(x=y=z=2\)
\(x.x+y.y+z.z=12\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}+\frac{z^2}{1}=\frac{12}{3}=4\)
\(\Rightarrow x^2=1.4=4\Leftrightarrow x=2\)
\(y^2=1.4=4\Leftrightarrow y=2\)
\(z^2=1.4=4\Leftrightarrow z=2\)
Áp dụng BĐT Cauchy - schwarz:
\(x^2+y^2+z^2=\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}+\frac{z^2}{1}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{1+1+1}=\frac{36}{3}=12\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z\))
\(pt\Leftrightarrow3x^2=12\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow x=\pm2\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=z=2\\x=y=z=-2\left(L\right)\end{cases}}\)(Vì x + y + z = 6)
Vậy x = y = z = 2