Cho a/b=c/d .Chứng minh rằng
a) (a-c)4 /(b-d)4 =5a4+7c4/5b4+7d4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
G
1
ML
7 tháng 8 2015
Áp dụng Côsi:
\(a^4+a^4+a^4+1\ge4\sqrt[4]{\left(a^4\right)^3}=4a^3\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)-1\)
Ta chứng minh: \(a^3+b^3+c^3+d^3\ge4\)
Theo Côsi: \(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a^3}=3a\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3+2.4\ge3\left(a+b+c+d\right)=3.4\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3\ge4\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)-4\ge3\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge a^3+b^3+c^3+d^3\)
2 tháng 5 2021
b, Ta có \(m=a+b+c\)
\(\Rightarrow am+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=a\left(a+b\right)+ac+bc=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)
CMTT \(bm+ac=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\);\(cm+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)
Suy ra \(\left(am+bc\right)\left(bm+ac\right)\left(cm+ab\right)=\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2\)
CH
16 tháng 11 2023
A + B = (a + b - 5) + (b - c - 9) = a + 2b - c - 14
C + D = (b - c - 4) + (-b + a) = a - b - c - 4
Ta thấy A + B = C + D = a + 2b - c - 14 = a - b - c - 4
Vậy A+B = C+D(điều phải chứng minh)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 12 2017
Lời giải:
Có $4$ số $a,b,c,d$ và $3$ số dư có thể xảy ra khi chia một số cho $3$ là $0,1,2$
Do đó áp dụng nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất \(\left [ \frac{4}{3} \right ]+1=2\) số có cùng số dư khi chia cho 3
Không mất tổng quát giả sử đó là \(a,b\Rightarrow a-b\vdots 3\)
\(\Rightarrow (b-a)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b)\vdots 3\)
Mặt khác:
Trong 4 số $a,b,c,d$
Giả sử tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho $4$ là $a,b$
\(\Rightarrow a-b\vdots 4\Rightarrow (b-a)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b)\vdots 4\)
Nếu $a,b,c,d$ không có số nào có cùng số dư khi chia cho 4. Khi đó giả sử $a,b,c,d$ có số dư khi chia cho $4$ lần lượt là $0,1,2,3$
\(\Rightarrow c-a\vdots 2; d-b\vdots 2\)
\(\Rightarrow (b-a)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b)\vdots 4\)
Như vậy, tích đã cho vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4. Do đó no cũng chia hết cho 12
Ta có đpcm,
HC
2
LL
15 tháng 1 2019
Lời giải:
Có 44 số a,b,c,da,b,c,d và 33 số dư có thể xảy ra khi chia một số cho 33 là 0,1,20,1,2
Do đó áp dụng nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất [43]+1=2[43]+1=2 số có cùng số dư khi chia cho 3
Không mất tổng quát giả sử đó là a,b⇒a−b⋮3a,b⇒a−b⋮3
⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮3⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮3
Mặt khác:
Trong 4 số a,b,c,da,b,c,d
Giả sử tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 44 là a,ba,b
⇒a−b⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4⇒a−b⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4
Nếu a,b,c,da,b,c,d không có số nào có cùng số dư khi chia cho 4. Khi đó giả sử a,b,c,da,b,c,d có số dư khi chia cho 44 lần lượt là 0,1,2,30,1,2,3
⇒c−a⋮2;d−b⋮2⇒c−a⋮2;d−b⋮2
⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4
Như vậy, tích đã cho vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4. Do đó no cũng chia hết cho 12
15 tháng 1 2019
Cho 4 số nguyên phân biệt a,b,c,d. Chứng minh rằng : (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 12
Giải
Không mất tổng quát giả sử đó là a,b⇒a−b⋮3
⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮3
Mặt khác:
Trong 4 số a,b,c,d
Giả sử tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 4 là a,b
⇒a−b⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4
Nếu a,b,c,d không có số nào có cùng số dư khi chia cho 4. Khi đó giả sử a,b,c,d có số dư khi chia cho 4 lần lượt là 0,1,2,3
⇒c−a⋮2;d−b⋮2
⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4
Như vậy, tích đã cho vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4. Do đó no cũng chia hết cho 12
Ta có đpcm,
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 4 2021
BĐT này do giáo sư Vasile đề xuất, và đây là lời giải của ông ấy:
Do vai trò của các biến là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(a^2=max\left\{a^2;b^2;c^2;d^2\right\}\)
\(\Rightarrow a^2\ge\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\)
Đặt \(x^2=\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\Rightarrow x^2\le a^2\) (1)
Đồng thời \(x^2=\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\ge\dfrac{1}{9}\left(b+c+d\right)^2=\dfrac{a^2}{9}\Rightarrow a^2\le9x^2\) (2)
\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left(a^2-x^2\right)\left(a^2-9x^2\right)\le0\) (3)
Ta có:
\(b^4+c^4+d^4=\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-2\left(b^2c^2+c^2d^2+b^2d^2\right)\le\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-\dfrac{2}{3}\left(bc+cd+bd\right)^2\)
\(=\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-\dfrac{1}{6}\left[\left(b+c+d\right)^2-\left(b^2+c^2+d^2\right)\right]^2=9x^4-\dfrac{1}{6}\left(a^2-3x^2\right)^2=\dfrac{45x^4+6a^2x^2-a^4}{6}\)
Do đó:
\(12\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\le12a^4+12.\dfrac{45x^4+6a^2x^2-a^4}{6}=90x^4+12a^2x^2+10a^4\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(7\left(a^2+3x^2\right)^2\ge90x^4+12a^2x^2+10a^4\)
\(\Leftrightarrow a^4-10a^2x^2+9x^4\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-9x^2\right)\left(a^2-x^2\right)\le0\) (đúng theo (3))
Vậy BĐT được chứng minh hoàn tất.
Dấu "=" xảy ra khi \(b=c=d=-\dfrac{a}{3}\) và các hoán vị của chúng
Mình cần gấp ạ
-Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k=>a=bk;b=dk\)
-Gọi a=bk;c=dk ta có:
\(\frac{\left(a-c\right)^4}{\left(b-d\right)^4}=\frac{\left(bk-dk\right)^4}{\left(b-d\right)^4}=\frac{k^4\left(b-d\right)^4}{\left(b-d\right)^4}=k^4\)(1)
\(\frac{5a^4+7c^4}{5b^4+7d^4}=\frac{5b^4k^4+7d^4k^4}{5b^4+7d^4}=\frac{k^4\left(5b+7d\right)^4}{\left(5b^4+7d^4\right)}=k^4\)(2)
-Từ (1)và(2)=>\(\frac{\left(a-c\right)^4}{\left(b-d\right)^4}=\frac{5a^4+7c^4}{5b^4+7d^4}\)(Điều cần chứng minh)