1/ Chứng minh: \(\left(x+y+1\right)^2\ge3\left(xy+y+x\right)\)
----------------------------Câu hỏi sẽ liên tục cập nhật mỗi khi có câu trả lời. Khi trả lời bạn hãy ghi câu mấy để mọi người dễ nhìn nhé--------------------------
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\left(1+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}\)
\(=2+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
Ta chứng minh bất đẳng thức :
\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Vì x, y, z đóng vai trò như nhau nên ta chứng minh bất đẳng thức phụ:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Xét:
\(3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)=\left(\frac{2x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{2y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{2z}{x}+\frac{x}{y}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{2x}{y}+\frac{y}{z}=\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{x.x.y}{y.y.z}}=3\sqrt[3]{\frac{x.x.x}{xyz}}=3\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Tương tự như thế ta có:
\(3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\ge3.\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}+3\frac{y}{\sqrt[3]{xyz}}+3\frac{z}{\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Như vậy:
\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
=> \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\ge2+\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Dấu "=" khi x=y=z
Câu hỏi của Incursion_03 - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Câu 17 :
- Ta có : AD là đường phân giác của tam giác ABC .\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AC}{CD}\)
- Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :\(\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{12}{BD}=\dfrac{16}{CD}\)
\(=\dfrac{12+16}{BD+CD}=\dfrac{28}{14}=2=\dfrac{16-12}{CD-BD}\)
\(\Rightarrow CD-BD=\dfrac{4}{2}=2\)
- Đáp án C.
Câu 16 :
- Ta có : \(\widehat{COB}=2\widehat{BAC}=120^o\)
- Ta lại có : \(S=S_{\stackrel\frown{BC}}-S_{OBC}=\dfrac{\pi R^2.120}{360}-\dfrac{1}{2}R.R.Sin120=\dfrac{\pi R^2}{3}-\dfrac{R^2\sqrt{3}}{4}\)
\(=\dfrac{R^2\left(4\pi-3\sqrt{3}\right)}{12}\) ( đvdt )
Đáp án D
2 dòng thì chịu :V
Ta co:\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Ta bien doi tuong duong BDT:
\(a^4+b^4+a^2+b^2+c^2+3a^2b^2-2a^3b-2ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2-2ab\left(a^2+b^2\right)+a^2b^2+a^2+b^2+c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2-ab\right)^2+a^2+b^2+c^2\ge0\left(True\right)\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=0\)
\(VT\ge\left(a^4+a^2b^2\right)+\left(b^4+a^2b^2\right)+2\left(ab+bc+ca\right)\)\(+a^2b^2\ge2ab^3+2a^3b+2\left(ab+bc+ca\right)\)
Dấu ''='' xảy ra tại a=b=c=0
Ở bài này dùng \(x^2+y^2\ge2\left|xy\right|\ge2xy\)không chắc lắm
Câu 2:
a: 10km=10000m
10000m dây đồng có cân nặng là:
\(47:5\cdot10000=94000\left(g\right)\)
b: 300g=0,3kg=0,003 tạ
0,003 tạ nặng:
\(2,5:1\cdot0,003=\dfrac{3}{400}\left(kg\right)\)
Câu 1:
a:
\(\left|1-2x\right|>=0\forall x\)
=>\(3\left|1-2x\right|>=0\forall x\)
=>\(3\left|1-2x\right|-5>=-5\forall x\)
=>\(A>=-5\forall x\)
Dấu '=' xảy ra khi 1-2x=0
=>2x=1
=>x=1/2
Vậy: \(A_{Min}=-5\) khi x=1/2
b: \(2x^2>=0\forall x\)
=>\(2x^2+1>=1\forall x\)
=>\(\left(2x^2+1\right)^4>=1^4=1\forall x\)
=>\(\left(2x^2+1\right)^4-3>=1-3=-2\forall x\)
=>B>=-2\(\forall\)x
Dấu '=' xảy ra khi x=0
c: \(\left|x-\dfrac{1}{2}\right|>=0\forall x\)
\(\left(y+2\right)^2>=0\forall y\)
Do đó: \(\left|x-\dfrac{1}{2}\right|+\left(y+2\right)^2>=0\forall x,y\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{2}=0\\y+2=0\end{matrix}\right.\)
=>x=1/2 và y=-2
áp dụng BĐT cô si a ^2+b^2=2ab ta dc
x^2+y^2>=2xy
x^2+1>2.x.1=2x
y^2+1=2.y.1=2y
cộng theo vế 3 ĐBTtrên ta dc x^2+y^2+x^2+1>=2xy+2x+2y
(=)2(x^2+y^2+1>=2(xy+x+y)
(=)x^2+y^2+1=xy+x+y