Cho a,b,c>0 .CMR\(\frac{a}{\sqrt{b}-1}+\frac{b}{\sqrt{c}-1}+\frac{c}{\sqrt{a}-1}\ge12\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
4 tháng 7 2019
Ta có \(\frac{a}{\sqrt{b}-1}+4\left(\sqrt{b}-1\right)\ge4\sqrt{a}\)
\(\frac{b}{\sqrt{c}-1}+4\left(\sqrt{c}-1\right)\ge4\sqrt{b}\)
\(\frac{c}{\sqrt{a}-1}+4\left(\sqrt{a}-1\right)\ge4\sqrt{c}\)
Cộng các vế của 3 BĐT trên
=> ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=4
28 tháng 7 2020
Đặt ⎧⎪⎨⎪⎩a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0){a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0)
⇒⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩a=z+x2b=x+y2c=y+z2⇒{a=z+x2b=x+y2c=y+z2
⇒√a(1b+c−a−1√bc)=√2(z+x)2(1y−2√(x+y)(y+z))≥√x+√z2(1y−2√xy+√yz)=√x+√z2y−1√y⇒a(1b+c−a−1bc)=2(z+x)2(1y−2(x+y)(y+z))≥x+z2(1y−2xy+yz)=x+z2y−1y
Tương tự
⇒∑√a(1b+c−a−1√bc)≥∑√x+√z2y−∑1√y⇒∑a(1b+c−a−1bc)≥∑x+z2y−∑1y
⇒VT≥∑[x√x(y+z)]2xyz−∑√xy√xyz≥2√xyz(x+y+z)2xyz−x+y+z√xyz≐x+y+z√xyz−x+y+z√xyz=0⇒VT≥∑[xx(y+z)]2xyz−∑xyxyz≥2xyz(x+y+z)2xyz−x+y+zxyz≐x+y+zxyz−x+y+zxyz=0
(∑√xy≤x+y+z,x√x(y+z)≥2x√xyz)(∑xy≤x+y+z,xx(y+z)≥2xxyz)
dấu = ⇔x=y=z⇔a=b=c
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 7 2019
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0(*)\).
Từ $(*)$ ta thấy: \(c=\frac{-ab}{a+b}< 0\) do $a,b>0$
\(c+a=\frac{-ac}{b}>0\) do $c< 0; a,b>0$
\(c+b=\frac{-bc}{a}>0\) do $c< 0; a,b>0$
Do đó:
\((*)\Leftrightarrow c^2+ab+bc+ac=c^2\)
\(\Leftrightarrow (c+a)(c+b)=c^2\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{(c+a)(c+b)}=|c|=-c\)
\(\Leftrightarrow 2\sqrt{(c+a)(c+b)}+2c=0\)
\(\Leftrightarrow (c+a)+(c+b)+2\sqrt{(c+a)(c+b)}=a+b\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{c+a}+\sqrt{c+b})^2=a+b\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{c+a}+\sqrt{c+b}=\sqrt{a+b}\) (đpcm)
10 tháng 1 2017
\(\frac{a}{\sqrt{b}-1}+\frac{b}{\sqrt{c}-1}+\frac{c}{\sqrt{c}-1}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-3}=\frac{t^2}{t-3}=12.,\)
\(t^2-12t+36=0\Leftrightarrow t=6;.\)
=>a =b =c = 4
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 9 2019
\(a+b=2c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\frac{a+b}{2}\\a-c=c-b\end{matrix}\right.\)
\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{a-c}+\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{a-c}-\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{a-c}\)
\(=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-\frac{a+b}{2}}=\frac{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
25 tháng 5 2017
Nhìn đề thấy mệt nên sửa lại đỡ mệt.
Cho \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\b^2=\frac{a^2+c^2}{2}\end{cases}}\)
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{2}{c+a}\)
Giải:
Theo đề ta có:
\(b^2=\frac{a^2+c^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow b^2-a^2=c^2-b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(b+a\right)\left(b-a\right)=\left(c+b\right)\left(c-b\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{b-a}{b+c}=\frac{c-b}{a+b}\)
Ta cần chứng minh:
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{2}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{c-b}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}+\frac{a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b-a}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b-a+a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow0=0\)
Vậy....
Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(\frac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y-1}.4\left(y-1\right)}=4x\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x^2}{y-1}\ge4x-4y+4\)
Tương tự với hai phân thức còn lại, cộng 3 bđt lại ta đc: \(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{z-1}+\frac{z^2}{x-1}\ge4+4+4=12\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=4\)
bài này đề a,b,c>1 chứ, thay a=b=c=1/4 thì sẽ rõ :)) mấy ông ko biết cứ k sai