1
CMR không tồn tại x,y,z thỏa mãn:
\(\left|x\right|< \left|y-z\right|\)
\(\left|y\right|< \left|z-x\right|\)
\(\left|z\right|< \left|x-y\right|\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CH
19 tháng 8 2018
Ơ thế liên quan l đến cậu à Thành? Hay nên gọi là Thánh chứ nhỉ? :) Có ai khiến cậu trả lời không mà kêu lắm :> Đấy là bài tập chỗ học thêm bên ngoài, đ' làm được thì lên hỏi thắc mắc làm l gì :> Đ' hỏi bài tập ở lớp thì thôi đừng ngồi chõ mồm vào :>
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
20 tháng 8 2023
Áp dụng BĐT Cauchy cho cặp số dương \(\dfrac{1}{\left(z+x\right)};\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\)
\(\dfrac{1}{\left(z+x\right)}+\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\left(1\right)\)
Tương tự ta được
\(\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}\le\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}\left(2\right)\)
\(\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}\left(3\right)\)
\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\) ta được :
\(P=\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}+\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}+\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\)
\(\Rightarrow P\le2\left(x+y+z\right)=2.3=6\)
\(\Rightarrow GTLN\left(P\right)=6\left(tạix=y=z=1\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 5 2021
Hầy mình không nghĩ lớp 7 đã phải làm những bài biến đổi như thế này. Cái này phù hợp với lớp 8-9 hơn.
1.
Đặt $x^2-y^2=a; y^2-z^2=b; z^2-x^2=c$.
Khi đó: $a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$
$\text{VT}=a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3$
$=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$
$=3(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)$
$=3(x-y)(x+y)(y-z)(y+z)(z-x)(z+x)$
$=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(x+z)$
$=3.4(x-y)(y-z)(z-x)=12(x-y)(y-z)(z-x)$
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 5 2021
Bài 2:
Áp dụng kết quả của bài 1:
Mẫu:
$(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(z+x)=3(x-y)(y-z)(z-x)(1)$
Tử:
Đặt $x-y=a; y-z=b; z-x=c$ thì $a+b+c=0$
$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=a^3+b^3+c^3$
$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$
$=3(x-y)(y-z)(z-x)(2)$
Từ $(1);(2)$ suy ra \(\frac{(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3}{(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3}=1\)
7 tháng 10 2018
\(Q=\frac{x^3}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{y^3}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^3}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)
\(=\frac{x^3}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}-\frac{y^3}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^3}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
\(=\frac{x^3\left(y-z\right)-y^3\left(x-z\right)+z^3\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)}\)(1)
Ta có:
\(x^3\left(y-z\right)-y^3\left(x-z\right)+z^3\left(x-y\right)\)
\(=x^3\left(y-z\right)-y^3\left(y-z\right)-y^3\left(x-y\right)+z^3\left(x-y\right)\)
\(=\left(y-z\right)\left(x^3-y^3\right)-\left(x-y\right)\left(y^3-z^3\right)\)
\(=\left(y-z\right)\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(y^2+yz+z^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x^2+xy+y^2-y^2-yz-z^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x^2+xy-yz-z^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left[\left(x-z\right)\left(x+z\right)+y\left(x-z\right)\right]\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left(x+y+z\right)=1000\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)\)(2)
Từ (1) và (2), ta có Q = 1000
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 2 2022
Hướng dẫn: đặt \(A=\dfrac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\dfrac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
Khi đó \(F-A=x-y+y-z+z-x=0\Rightarrow F=A\)
\(\Rightarrow2F=F+A=\sum\dfrac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\sum\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\sum\dfrac{\left(x+y\right)^2\left(x^2+y^2\right)}{4\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)
\(\Rightarrow2F\ge\dfrac{x+y+z}{2}\Rightarrow F\ge\dfrac{x+y+z}{4}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 2 2021
\(P=\dfrac{1}{3x\left(y+z\right)+x+y+z}+\dfrac{1}{3y\left(z+x\right)+x+y+z}+\dfrac{1}{3z\left(x+y\right)+x+y+z}\)
\(P\le\dfrac{1}{3x\left(y+z\right)+3\sqrt[3]{xyz}}+\dfrac{1}{3y\left(z+x\right)+3\sqrt[3]{xyz}}+\dfrac{1}{3z\left(x+y\right)+3\sqrt[3]{xyz}}\)
\(P\le\dfrac{1}{3x\left(y+z\right)+3}+\dfrac{1}{3y\left(z+x\right)+3}+\dfrac{1}{3z\left(x+y\right)+3}\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\Rightarrow abc=1\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a^3\left(b^3+c^3\right)+1}+\dfrac{1}{b^3\left(c^3+a^3\right)+1}+\dfrac{1}{c^3\left(a^3+b^3\right)+1}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a^3bc\left(b+c\right)+1}+\dfrac{1}{b^3ac\left(a+c\right)+1}+\dfrac{1}{c^3ab\left(a+b\right)+1}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{bc}{a\left(b+c\right)+bc}+\dfrac{ac}{b\left(a+c\right)+ac}+\dfrac{ab}{c\left(a+b\right)+ab}\right)=\dfrac{1}{3}\)
\(P_{max}=\dfrac{1}{3}\) khi \(a=b=c=1\) hay \(x=y=z=1\)
8 tháng 11 2018
\(A=\frac{x^2}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{y^2}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^2}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)
\(=\frac{x^2}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}-\frac{y^2}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^2}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
\(=\frac{x^2\left(y-z\right)-y^2\left(x-z\right)+z^2\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
\(x^2\left(y-z\right)-y^2\left(x-z\right)+z^2\left(x-y\right)\)
\(=x^2y-x^2z-xy^2+y^2z+z^2\left(x-y\right)\)
\(=xy\left(x-y\right)-z\left(x-y\right)\left(x+y\right)+z^2\left(x-y\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left[xy-zx-zy+z^2\right]\)
\(=\left(x-y\right)\left[x\left(y-z\right)-z\left(y-z\right)\right]=\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)\)
Vậy A = 1
cái đó là zĩ nhiên
vì từ đầu bài
nen x=y=z
Trong 3 số x, y, z theo đề bài không có số lớn nhất => không có số nhỏ nhất => x=y=z