CMR: biểu thức sau độc lập đối với x: 1/cos^6x - tan^6x - 3tan^2x/cos^2x
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 11 2019
\(A=2(\sin ^6x+\cos ^6x)-3(\sin ^4x+\cos ^4x)\)
\(=2(\sin ^2x+\cos ^2x)(\sin ^4x-\sin ^2x\cos ^2x+\cos ^4x)-3(\sin ^4x+\cos ^4x)\)
\(=2(\sin ^4x-\sin ^2x\cos ^2x+\cos ^4x)-3(\sin ^4x+\cos ^4x)\)
\(=-(\sin ^4x+2\sin ^2x\cos ^2x+\cos ^4x)=-(\sin ^2x+\cos ^2x)^2=-1^2=-1\)
là giá trị không phụ thuộc vào biến (đpcm)
-----------------------
\(B=\sin ^6x+\cos ^6x-2\sin ^4x-\cos ^4x+\sin ^2x\)
\(=(\sin ^2x+\cos ^2x)(\sin ^4x-\sin ^2x\cos ^2x+\cos ^4x)-2\sin ^4x-\cos ^4x+\sin ^2x\)
\(=\sin ^4x-\sin ^2x\cos ^2x+\cos ^4x-2\sin ^4x-\cos ^4x+\sin ^2x\)
\(=-\sin ^4x-\sin ^2x\cos ^2x+\sin ^2x=-\sin ^2x(\sin ^2x+\cos ^2x)+\sin ^2x\)
\(=-\sin ^2x+\sin ^2x=0\)
là giá trị không phụ thuộc vào biến (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 11 2019
\(C=(\sin ^4x+\cos ^4x-1)(\tan ^2x+\cot ^2x+2)=(\sin ^4x+\cos ^4x-1)(\frac{\sin ^2x}{\cos ^2x}+\frac{\cos ^2x}{\sin ^2x}+2)\)
\(=(\sin ^4x+\cos ^4x-1).\frac{\sin ^4x+\cos ^4x+2\sin ^2x\cos ^2x}{\sin ^2x\cos ^2x}=(\sin ^4x+\cos ^4x-1).\frac{(\sin ^2x+\cos ^2x)^2}{\sin ^2x\cos ^2x}\)
\(=(\sin ^4x+\cos ^4x-1).\frac{1}{\sin ^2x\cos ^2x}=\frac{(\sin ^2x)^2+(\cos ^2x)^2+2\sin ^2x\cos ^2x-2\sin ^2x\cos ^2x-1}{\sin ^2x\cos ^2x}\)
\(=\frac{(\sin ^2x+\cos ^2x)^2-2\sin ^2x\cos ^2x-1}{\sin ^2x\cos ^2x}=\frac{1-2\sin ^2x\cos ^2x-1}{\sin ^2x\cos ^2x}=\frac{-2\sin ^2x\cos ^2x}{\sin ^2x\cos ^2x}=-2\)
là giá trị không phụ thuộc vào biến $x$
--------------------
\(D=\frac{1}{\cos ^6x}-\tan ^6x-\frac{\tan ^2x}{\cos ^2x}=\frac{1}{\cos ^6x}-\frac{\sin ^6x}{\cos ^6x}-\frac{\sin ^2x}{\cos ^4x}\)
\(=\frac{1-\sin ^6x-\sin ^2x\cos ^2x}{\cos ^6x}=\frac{(\sin ^2x+\cos ^2x)^3-\sin ^6x-\sin ^2x\cos ^2x}{\cos ^6x}\)
\(=\frac{\sin ^6x+\cos ^6x+3\sin ^2x\cos ^2x(\sin ^2x+\cos ^2x)-\sin ^6x-\sin ^2x\cos ^2x}{\cos ^6x}\)
\(=\frac{\cos ^6x+3\sin ^2x\cos ^2x-\sin ^2x\cos ^2x}{\cos ^6x}=\frac{\cos ^4x+2\sin ^2x}{\cos ^4x}\)
\(=1+\frac{2\sin ^2x}{\cos ^4x}\)
Giá trị biểu thức này vẫn phụ thuộc vào $x$. Bạn xem lại đề.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 2 2021
\(sinx+cosx=m\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)^2=m^2\)
\(\Leftrightarrow1+2sinx.cosx=m^2\Rightarrow sinx.cosx=\dfrac{m^2-1}{2}\)
\(A=sin^2x+cos^2x=1\)
\(B=sin^3x+cos^3x=\left(sinx+cosx\right)^3-3sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)\)
\(=m^3-\dfrac{3m\left(m^2-1\right)}{2}=\dfrac{2m^3-3m^3+3m}{2}=\dfrac{3m-m^3}{2}\)
\(C=\left(sin^2+cos^2x\right)^2-2\left(sinx.cosx\right)^2=1-2\left(\dfrac{m^2-1}{2}\right)^2\)
\(D=\left(sin^2x\right)^3+\left(cos^2x\right)^3=\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sinx.cosx\right)^2\)
\(=1-3\left(\dfrac{m^2-1}{2}\right)^2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 10 2020
1.
\(\Leftrightarrow3x=k\pi\Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{3}\)
2.
\(\Leftrightarrow cos5x=0\Leftrightarrow5x=\frac{\pi}{2}+k\pi\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{10}+\frac{k\pi}{5}\)
4.
\(cos3x+cosx+cos2x=0\)
\(\Leftrightarrow2cos2x.cosx+cos2x=0\)
\(\Leftrightarrow cos2x\left(2cosx+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=0\\cosx=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\\x=\pm\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 10 2020
5.
\(sin6x+sin2x+sin4x=0\)
\(\Leftrightarrow2sin4x.cos2x+sin4x=0\)
\(\Leftrightarrow sin4x\left(2cos2x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin4x=0\\cos2x=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{k\pi}{4}\\x=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi\end{matrix}\right.\)
6. ĐKXĐ; ...
\(\Leftrightarrow tanx+tan2x=1-tanx.tan2x\)
\(\Leftrightarrow\frac{tanx+tan2x}{1-tanx.tan2x}=1\)
\(\Leftrightarrow tan3x=1\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}\)
14 tháng 8 2022
\(=\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2x\cdot cos^2x\cdot\left(sin^2x+cos^2x\right)+3\cdot sin^2xcos^2x+sin^2x+cos^2x\)
\(=1+1=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 1 2021
a.
Tổng là cấp số nhân lùi vô hạn với \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\q=-sin^2x\end{matrix}\right.\)
Do đó: \(S=\dfrac{u_1}{1-q}=\dfrac{1}{1+sin^2x}\)
b. Tương tự, tổng cấp số nhân lùi vô hạn với \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\q=cos^2x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow S=\dfrac{1}{1-cos^2x}=\dfrac{1}{sin^2x}\)
c. Do \(0< x< \dfrac{\pi}{4}\Rightarrow0< tanx< 1\)
Tổng trên vẫn là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\q=-tanx\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow S=\dfrac{1}{1+tanx}\)
5 tháng 7 2021
1,\(A=3\left(sin^4x+cos^4x\right)-2\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sin^4x-sin^2x.cos^2x+cos^4x\right)\)
\(=3\left(sin^4x+cos^4x\right)-2\left(sin^4x-sin^2x.cos^4x+cos^4x\right)\)
\(=sin^4x+2sin^2x.cos^2x+cos^4x=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2=1\)
Vậy...
2,\(B=cos^6x+2sin^4x\left(1-sin^2x\right)+3\left(1-cos^2x\right)cos^4x+sin^4x\)
\(=-2cos^6x+3sin^4x-2sin^6x+3cos^4x\)
\(=-2\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sin^4x-sin^2x.cos^2x+cos^4x\right)+3\left(cos^4x+sin^4x\right)\)
\(=-2\left(sin^4x-sin^2x.cos^2x+cos^4x\right)+3\left(cos^4x+sin^4x\right)\)\(=cos^4x+sin^4x+2sin^2x.cos^2x=1\)
Vậy...
3,\(C=\dfrac{1}{2}\left[cos\left(-\dfrac{7\pi}{12}\right)+cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}\right)\right]+\dfrac{1}{2}\left[cos\left(-\dfrac{7\pi}{12}\right)+cos\left(2x+\dfrac{11\pi}{12}\right)\right]\)
\(=cos\left(-\dfrac{7\pi}{12}\right)+\dfrac{1}{2}\left[cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}\right)+cos\left(2x+\dfrac{11\pi}{12}\right)\right]\)\(=\dfrac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\dfrac{1}{2}\left[cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}\right)+cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}+\pi\right)\right]\)
\(=\dfrac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\dfrac{1}{2}\left[cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}\right)-cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}\right)\right]\)\(=\dfrac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
Vậy...
4, \(D=cos^2x+\left(-\dfrac{1}{2}cosx-\dfrac{\sqrt{3}}{2}sinx\right)^2+\left(-\dfrac{1}{2}.cosx+\dfrac{\sqrt{3}}{2}.sinx\right)^2\)
\(=cos^2x+\dfrac{1}{4}cos^2x+\dfrac{\sqrt{3}}{4}cosx.sinx+\dfrac{3}{4}sin^2x+\dfrac{1}{4}cos^2x-\dfrac{\sqrt{3}}{4}cosx.sinx+\dfrac{3}{4}sin^2x\)
\(=\dfrac{3}{2}\left(cos^2x+sin^2x\right)=\dfrac{3}{2}\)
Vậy...
5, Xem lại đề
6,\(F=-cosx+cosx-tan\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right).cot\left(\pi+\dfrac{\pi}{2}-x\right)\)
\(=tan\left(\pi-\dfrac{\pi}{2}-x\right).cot\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\)\(=tan\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right).cot\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\)\(=cotx.tanx=1\)
Vậy...
AG
1
Y
29 tháng 5 2019
\(=\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sin^4x-sin^2x\cdot cos^2x+cos^4x\right)\)
\(+\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2sin^2x\cdot cos^2x+5\cdot sin^2x\cdot cos^2x\)
\(=sin^4x+cos^4x-sin^2x\cdot cos^2x+1-2\cdot sin^2x\cdot cos^2x+5\cdot sin^2x\cdot cos^2x\)
\(=1-2\cdot sin^2x\cdot cos^2x-sin^2x\cdot cos^2x+1-2\cdot sin^2x\cdot cos^2x+5\cdot sin^2x\cdot cos^2x\)
\(=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 7 2021
a.
\(\left(sin^2\dfrac{x}{2}+cos^2\dfrac{x}{2}\right)^2-2sin^2\dfrac{x}{2}cos^2\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow2-\left(2sin\dfrac{x}{2}cos\dfrac{x}{2}\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow1-sin^2x=0\)
\(\Leftrightarrow cos^2x=0\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 7 2021
b.
\(\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)=\dfrac{7}{16}\)
\(\Leftrightarrow1-\dfrac{3}{4}\left(2sinx.cosx\right)^2=\dfrac{7}{16}\)
\(\Leftrightarrow16-12.sin^22x=7\)
\(\Leftrightarrow3-4sin^22x=0\)
\(\Leftrightarrow3-2\left(1-cos4x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow cos4x=-\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow4x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\)
\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{2}\)