Cho tam giác ABC, M là trung điểm AB. N ϵ AC, NC=2NA, K là trung điểm MN, D là trung điểm BC. Chứng minh vectoKD = 1/4 vectoAB + 1/3vectoAC
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét ΔABC có AM/MB=AN/NC
nên MN//BC
b: Xét ΔABC có MN//BC
nên AM/AB=AN/AC(1)
Xét ΔABI có MK//BI
nên MK/BI=AM/AB(2)
Xét ΔACI có NK//CI
nên NK/IC=AN/AC(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra MK/BI=NK/CI
mà BI=CI
nên MK=NK
hay K là trung điểm của MN
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}\)(D là trung điểm của BC) (1)
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AK}\)(K là trung điểm của MN) (2)
Lấy (1) trừ (2) có: \(\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)-\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=2\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AK}\right)\)
⇔\(\dfrac{\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)-\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)}{2}\)=\(\overrightarrow{KD}\)
⇔\(\dfrac{\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)}{2}\)=\(\overrightarrow{KD}\)
⇔\(\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}}{2}\)=\(\overrightarrow{KD}\)
⇔\(\dfrac{\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}}{2}\)=\(\overrightarrow{KD}\)
⇔\(\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)=\(\overrightarrow{KD}\)
1. M, N là trung điểm của AB và AC ⇒ MN là đường trung bình của △ABC, MN // BC
Vậy: BCNM là hình thang
==========
2. Do MN // BC ⇒ MO // BI, ON // IC. Mà M, N là trung điểm của AB, AC
⇒ MO và ON lần lượt là đường trung bình của △ABI, △AIC
\(\Rightarrow MO=\dfrac{BI}{2};ON=\dfrac{IC}{2}\). Mà BI = IC (I là trung điểm của BC)
\(\Rightarrow MO=ON\)
Vậy: O là trung điểm của MN (đpcm)
==========
3. Gọi F là giao điểm của MO và AD. Do AD ⊥ BC (gt), OM // BC ⇒ AD ⊥ MO
Xét △MHB và △AFM có:
\(\hat{MDB}=\hat{AFM}=90\text{˚}\)
\(\hat{MBH}=\hat{AMF}\) (đồng vị)
\(AM=MB\left(gt\right)\)
⇒ △MHB = △AFM (c.h-g.n) ⇒ MH = AF (1)
- Tứ giác OFDK có:
\(\begin{matrix}\hat{OFD}=90\text{˚}\left(AD\perp MO\right)\\\hat{FDK}=90\text{˚}\left(AD\perp BC\right)\\\hat{DKO}=90\text{˚}\left(OK\perp BC\right)\end{matrix}\) ⇒ OFDK là hình chữ nhật ⇒ OK = DF (2)
- Mà \(AD=AF+DF\left(3\right)\)
Từ (1), (2) và (3)
Vậy: MH + OK = AD (đpcm)
Câu 4 mình tạm thời chưa nghĩ ra
a, Ta có AM/MB = AN/NC = 3/2 ⇒ MN//BC
b, Ta có MN//BC ⇒ MK//BI ⇒ MK/BI=AM/AB (Hệ quả đ/lí Talet) ⇒ MK=BI. AM/AB
C/m tương tự ta có NK=IC . AN/AC
mà theo câu a, AM/MB = AN/NC ⇒ NK=MK (ĐPCM)
Có \(NC=2NA\Rightarrow\overrightarrow{NA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}\)
Có \(\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}\)
\(=\frac{1}{2}\overrightarrow{NM}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AM}\right)+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
\(=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\)