CMR \(B=\frac{n}{12}+\frac{n^2}{24}+\frac{n^3}{24}\) ϵ Z với nϵZ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 9 2018
a, Ta có: \(\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15}=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+\frac{n}{3}+\frac{7n}{15}\)
\(=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+n\)
Chứng minh \(n^5-n⋮5\Rightarrow\frac{n^5-n}{5}\in Z\)
\(n^3-n⋮3\Rightarrow\frac{n^3-n}{3}\in Z\)
\(\Rightarrow\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+n\in Z\)
=> Đpcm
b, Tương tự dùng tính chất chia hết
Y
23 tháng 6 2019
+ Ta có : \(n^5-n=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)
\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
+ \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)là tích 5 số nguyên liên tiếp
\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮5\)
\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮5\)
\(\Rightarrow n^5-n⋮5\)
+ \(n^3-n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3\)
\(B=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+\frac{7n}{15}+\frac{n}{5}+\frac{n}{3}\)
\(=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+\frac{15n}{15}\)
=> B là số nguyên
Y
23 tháng 6 2019
\(A=\frac{n^5+10n^4+35n^3+50n^2+24n}{120}\) \(=\frac{n\left[n^3\left(n+1\right)+9n^2\left(n+1\right)+26n\left(n+1\right)+24\left(n+1\right)\right]}{120}\)
\(=\frac{n\left(n+1\right)\left[n^3+9n^2+26n+24\right]}{120}\) \(=\frac{n\left(n+1\right)\left[n^2\left(n+2\right)+7n\left(n+2\right)+12\left(n+2\right)\right]}{120}\)
\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n^2+7n+12\right)}{120}\) \(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}{120}\)
+ \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)\)là tích 5 số nguyên liên tiếp\
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)⋮3\\n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)⋮5\end{matrix}\right.\) (1)
+ trong 5 số nguyên liên tiếp tồn tại ít nhất 2 số chẵn liên tiếp
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)⋮8\) ( do tích 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 ) (2)
+ Từ (1) và (2) => \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)⋮120\)
=> đpcm
+ \(C=\frac{n^3+3n^2+2n}{24}=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\)
+ \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\) (3)
+ n và n + 2 là 2 số chẵn liên tiếp
\(\Rightarrow n\left(n+2\right)⋮8\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮8\) (4)
+ Từ (3) và (4) \(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮24\)
=> C là số nguyên
OP
8 tháng 8 2016
\(n^4-1=\left(n^2\right)^2-1^2=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
n lẻ
=> n - 1 và n + 1 chẵn
Tích của 2 số chẵn liên tiếp sẽ chia hết cho 8
=> Biểu thức trên chia hết cho 8 với mọi n lẻ (đpcm)
3 tháng 2 2017
a) A = n/3 + n2/2 + n3/6
A = 2n+3n2+n3/6
A = 2n+2n2+n2+n3/6
A = (n+1)(2n+n2)/6
A = n(n+1)(n+2)/6
Vì n(n+1)(n+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3
Mà (2;3)=1 => n(n+1)(n+2) chia hết cho 6
Hay A thuộc Z (đpcm)
b) B = n4/24 + n3/4 + 11n2/24 + n/4
B = n4+6n3+11n2+6n/24
B = n(n3+6n2+11n+6)/24
B = n(n3+n2+5n2+5n+6n+6)/24
B = n(n+1)(n2+5n+6)/24
B = n(n+1)(n2+2n+3n+6)/24
B = n(n+1)(n+2)(n+3)/24
Vì n(n+1)(n+2)(n+3) là tích 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 8 và 3
Mà (8;3)=1 => n(n+1)(n+2)(n+3) chia hết cho 24
Hay B nguyên (đpcm)
NN
1
25 tháng 5 2015
Vì n chẵn nên n có dạng n = 2k (k thuộc Z)
\(A=\frac{2.k}{12}+\frac{4.k^2}{8}+\frac{8k^3}{24}=\frac{k}{6}+\frac{k^2}{2}+\frac{k^3}{3}=\frac{k}{6}+\frac{3.k^2}{6}+\frac{2.k^3}{6}=\frac{2.k^3+3.k^2+k}{6}\)
\(=\frac{k\left(2k^2+3k+1\right)}{6}=\frac{k\left[2k\left(k+1\right)+\left(k+1\right)\right]}{6}=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}=\frac{k\left(k+1\right)\left[\left(k+2\right)+\left(k-1\right)\right]}{6}\)
\(=\frac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}+\frac{\left(k-1\right)k\left(k+1\right)}{6}\)
nhận xét k; k+1; k+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 6 => \(\frac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}\)nguyên
tương tự: k-1; k; k+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 6=> \(\frac{\left(k-1\right)k\left(k+1\right)}{6}\)nguyên
vậy A nguyên
20 tháng 10 2019
Tiếp câu b nha
\(A=\frac{n^5}{120}+\frac{n^4}{10}+\frac{7n^3}{24}+\frac{5n^2}{12}+\frac{n}{5}\)
\(=\frac{n^5+10n^4+35n^3+50n^2+24n}{120}\)
Ta có:\(n^5+10n^4+35n^3+50n^2+24n\)
\(=n\left(n^4+10x^3+35x^2+50x+24\right)\)
\(=n\left(n^4+2n^3+8n^3+16n^2+19n^2+38n+12n+4\right)\)
\(=n\left(n+3\right)\left(n^3+3n^2+5n^2+15n+4n+12\right)\)
\(=n\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4n+n+4\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)⋮3;5;8\)
Mà \(ƯC\left(3;5;8\right)=1\)
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)⋮120\)
Vậy A chia hết cho 120
20 tháng 10 2019
a, (n+3)2-(n-1)2
= n2+6n+9-n2+2n-1
= 8n + 8
= 8(n+1) chia hết cho 8
YN
B=\(\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+\frac{24}{25}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)
CMR b ko là số nguyên
1
CC
22 tháng 3 2020
\(B=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+\frac{24}{25}+........+\frac{n^2-1}{n^2}\)
\(=\left(1-\frac{1}{4}\right)+\left(1-\frac{1}{9}\right)+\left(1-\frac{1}{16}\right)+.......+\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\)
\(=1-\frac{1}{4}+1-\frac{1}{9}+1-\frac{1}{16}+.......+1-\frac{1}{n^2}\)
\(=\left(1+1+1+......+1\right)-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+..........+\frac{1}{n^2}\right)\)
\(=\left(n-1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+.......+\frac{1}{n^2}\right)\)
Vì \(2^2=2.2>1.2\)\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
Tương tự ta có: \(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\); \(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\); .......... ; \(\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+.......+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+.......+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.......+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(=1-\frac{1}{n}< 1\)
mà \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+.........+\frac{1}{n^2}>0\)( vì các số hạng luôn > 0 )
\(\Rightarrow0< \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+........+\frac{1}{n^2}< 1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+.........+\frac{1}{n^2}\)không là số nguyên (1)
mà \(n\inℤ\)\(\Rightarrow n-1\inℤ\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)B không là số nguyên (đpcm)
\(B=\frac{2n}{24}+\frac{n^2\left(n+1\right)}{24}\)
\(B=\frac{n^3+n^2+2n}{24}\)
Với n=1 ta thấy ngay điều vô lý.