cho x.y.z>0 và xy+yz+xz=5
Tìm GTNN của \(A=3x^2+3y^2+z^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 12 2015
Le Tran Anh này, bạn biết làm không mà bảo ng khác ngu? Nếu biết thì giải đi...
TN
30 tháng 3 2017
Sửa thành tìm GTLN nhé !
Với x,y,z>0 chia 2 vế của \(xy+yz+xz=xyz\) cho \(xyz\) ta có :
\(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{4x+3y+z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)\). Tương tự cho 2 BĐT kia:
\(\frac{1}{x+4y+3z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{3}{z}\right);\frac{1}{3x+y+4z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{3}{x}+\frac{1}{y}+\frac{4}{z}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(M\leΣ\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)=Σ\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=3\)
QL
0
VH
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 1 2018
Lời giải:
Vì \(xy+yz+xz=5\Rightarrow x^2+5=x^2+xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow x^2+5=(x+y)(x+z)\)
\(\Rightarrow \sqrt{6(x^2+5)}=\sqrt{6(x+y)(x+z)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{6(x+y)(x+z)}=\frac{\sqrt{6}}{2}.2\sqrt{(x+y)(x+z)}\leq \frac{\sqrt{6}}{2}(x+y+x+z)\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{6(x^2+5)}\leq \frac{\sqrt{6}}{2}(2x+y+z)\)
Thực hiện tương tự với các hạng tử còn lại suy ra:
\(\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{6(z^2+5)}\leq \frac{\sqrt{6}}{2}(4x+2y+4z)=2\sqrt{6}(x+y+z)\)
\(\Rightarrow \frac{3x+3y+3z}{\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{6(z^2+5)}}\geq \frac{3(x+y+z)}{2\sqrt{6}(x+y+z)}=\frac{3}{2\sqrt{6}}\)
Vậy min bằng \(\frac{3}{2\sqrt{6}}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{5}{3}}\)
Điểm rơi : \(\left\{{}\begin{matrix}x=y=1\\z=2\end{matrix}\right.\)
\(A=3x^2+3y^2+z^2\)
\(2A=6x^2+6y^2+2z^2\)
\(2A=\left(z^2+4x^2\right)+\left(z^2+4y^2\right)+\left(2x^2+2y^2\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
\(2A\ge2\sqrt{4x^2z^2}+2\sqrt{4y^2z^2}+2\sqrt{4x^2y^2}\)
\(=4xz+4yz+4xy=4\left(xy+yz+xz\right)=20\)
\(\Rightarrow2A\ge20\)
\(\Rightarrow A\ge10\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=1\\z=2\end{matrix}\right.\)
ghê vậy nhỉ? biết cân bằng hệ số r cơ:) e tìm ko ra điểm rơi