Cho a,b,c > 0 thoa man a < bc va 1 + a^3 = b^3 + c^3 . CMR: 1 + A < b+c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 10 2019
Sử dụng:
\(A^3+B^3+C^3-3ABC=\left(A+B+C\right)\left(A^2+B^2+C^2-AB-BC-AC\right)\) (1)
Áp dụng vào bài:
\(\left(a-1\right)^3+\left(b-2\right)^3+\left(c-3\right)^3-3\left(a-1\right)\left(b-2\right)\left(c-3\right)\)
\(=\left(a-1+b-2+c-3\right)\)[ \(\left(a-1\right)^2+\left(b-2\right)^2+\left(c-3\right)^2\)
\(+\left(a-1\right)\left(b-2\right)+\left(a-1\right)\left(c-3\right)+\left(b-2\right)\left(c-3\right)\)]
<=> \(0-3\left(a-1\right)\left(b-2\right)\left(c-3\right)=0\)
( vì \(a-1+b-2+c-3=a+b+c-6=6-6=0\))
<=> \(\left(a-1\right)\left(b-2\right)\left(c-3\right)=0\)
<=> a = 1 hoặc b = 2 hoặc c = 3.
Không mất tính tổng quát: g/s : a = 1
Khi đó: b + c =5
Ta có: \(T=\left(b-2\right)^{2n+1}+\left(c-3\right)^{2n+1}\)
\(=\left(b-2+c-3\right).A\)
\(=\left(b+c-5\right).A\)
\(=0.A=0\)
Với \(A=\left(b-2\right)^{2n}-\left(b-2\right)^{2n-1}\left(c-3\right)+\left(b-2\right)^{2n-2}\left(c-3\right)^2-...+\left(c-3\right)^{2n}\)
Tương tự b = 2; c= 3 thì T = 0.
Vậy T = 0.
DN
0
PV
0
TX
0
Giả sử \(1+a\ge b+c\)
Ta có \(1+a^3=b^3+c^3\)
\(\Leftrightarrow\left(1+a\right)\left(a^2-a+1\right)=\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-a+1}{b^2-bc+c^2}=\frac{b+c}{1+a}\le1\)
\(\Rightarrow a^2-a+1\le b^2-bc+c^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2-3a\le\left(b+c\right)^2-3bc\)(Vô lí vì giả sử a+1 > b+c và giả thiết a<bc)
Vậy điều giả sử là sai nên ta có dpcm