Cho x,y,z la cac so duong va x+y+z=1. Tim GTNN cua M=xy+yz+zx
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VN
0
VN
2
S
22 tháng 7 2019
\(x+z+y=1\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=1\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\ge3\left(xy+yz+zx\right)=1\Rightarrow M_{max}=\frac{1}{3}.\text{Dâu "=" xay ra }\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
GD
1
10 tháng 1 2021
\(P=\frac{x+y}{xyz}=\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\)
Áp dụng Bunyakovsky dạng phân thức : \(\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{z\left(x+y\right)}\)(1)
Ta có : \(\sqrt{z\left(x+y\right)}\le\frac{x+y+z}{2}\)( theo AM-GM )
=> \(z\left(x+y\right)\le\left(\frac{x+y+z}{2}\right)^2=\left(\frac{6}{2}\right)^2=9\)
=> \(\frac{1}{z\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{9}\)=> \(\frac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\frac{4}{9}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(P=\frac{x+y}{xyz}=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\frac{4}{9}\)
=> P ≥ 4/9
Vậy MinP = 4/9, đạt được khi x = y = 3/2 ; z = 3
LS
0