Question

[Kasane Kanade]

Đáp án là C, nhưng tính thế nào? help me, please!!

Cho biết tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình \(2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-3\left(x+\frac{1}{x}\right)-5m+1=0\) có nghiệm là S = [ -a/b ; +vc), với a,b là các số nguyên dương và a/b là phân số tối giản. Tính T=a.b.

A. T= -5

B. T= -55

C. T= 5

D. T=55

Thanks a lot.

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
Ta có:
\(2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-3\left(x+\frac{1}{x}\right)-5m+1=0\)

\(\Leftrightarrow 2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-3\left(x+\frac{1}{x}\right)-5m-3=0\)

Đặt \(x+\frac{1}{x}=t(*)\) thì: \(2t^2-3t-5m-3=0(**)\)

Để PT ban đầu có nghiệm thì PT $(**)$ phải có nghiệm t và PT $(*)$ phải có nghiệm $x$

Viết lại PT $(*)$: \(\Leftrightarrow x^2-xt+1=0\)

Để PT $(*)$ có nghiệm $t$ thì:

\(\Delta=t^2-4\geq 0\Leftrightarrow t^2\geq 4\Leftrightarrow t\in (-\infty;-2]\cup [2;+\infty)\)

Viết lại PT $(**)$: \(\Leftrightarrow m=\frac{2t^2-3t-3}{5}=f(t)\)

Để $(**)$ có nghiệm thì \(\min f(t) \leq m\leq \max f(t)\)

Với \(t\in (-\infty;-2]\cup [2;+\infty)\) thì:

\(f(t)\to +\infty\)

\(f(t)_{\min}=f(2)=\frac{-1}{5}\) (thông qua BBT)

Do đó \(m\in [\frac{-1}{5}; +\infty)\Rightarrow a=1; b=5\)

\(\Rightarrow T=ab=5\)

Đáp án C.