Cho các số nguyên dương a,b,c t/mãn \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) CMR:\(\frac{a^3-2b^3+c^3}{a+b+c}\)là số nguyên
Help me plz. ^-^^-^
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
12 tháng 10 2019
Sửa đề: chứng minh:\(\frac{a^2}{\sqrt{12b^2+11bc+2c^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{12c^2+11ca+2a^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{12a^2+11ca+2b^2}}\ge\frac{3}{5}\)
Ta có: \(12b^2+11bc+2c^2=\frac{1}{4}\left(7b+3c\right)^2-\frac{1}{4}\left(b-c\right)^2\le\frac{1}{4}\left(7b+3c\right)^2\)
Do đó: \(\frac{a^2}{\sqrt{12b^2+11bc+2c^2}}\ge\frac{2a^2}{7b+3c}\).Tương tự hai BĐT còn lại rồi cộng theo vế thu được:
\(VT\ge\frac{2a^2}{7b+3c}+\frac{2b^2}{7c+3a}+\frac{2c^2}{7a+3b}\)
\(=2\left(\frac{a^2}{7b+3c}+\frac{b^2}{7c+3a}+\frac{c^2}{7a+3b}\right)\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{10\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{5}\)(áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel)
Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
P/s: Is that true? Thấy đề nó là lạ nên sửa thôi chứ ko chắc rằng mình sửa đúng..
T
13 tháng 10 2019
@Cool Kid: Cách của mình"
Đầu tiên ta xét hiệu: \(12b^2+11bc+2c^2-x\left(b-c\right)^2\). Ta chọn x để biểu thức sau khi phân tích có dạng một số chính phương.
\(=\left(12-x\right)b^2+\left(11+2x\right)bc+\left(2-x\right)c^2\)
\(=\left(12-x\right)\left(b+\frac{\left(11+2x\right)c}{2\left(12-x\right)}\right)^2+\left(2-x\right)c^2-\frac{\left(11+2x\right)^2c^2}{4\left(12-x\right)}\)
\(=\left(12-x\right)\left(b+\frac{\left(11+2x\right)c}{2\left(12-x\right)}\right)^2+c^2\left[\left(2-x\right)-\frac{\left(11+2x\right)^2}{4\left(12-x\right)}\right]\)
Đến đây thì ý tưởng đã rõ, ta chọn x sao cho 12 - x > 0 và:
\(\left(2-x\right)-\frac{\left(11+2x\right)^2}{4\left(12-x\right)}=0\). Bấm máy tính ta suy ra \(x=-\frac{1}{4}\)
Từ đó có thể dễ dàng suy ra cách phân tích bên trên
12 tháng 7 2017
mũ 2 và mũ 3 nha bạn. cả 2 cái cách làm tương tự nhau.nếu bạn ko làm đc mũ 3, bn có thể làm mũ 2 chi mình xem đc ko
KN
30 tháng 5 2020
Ta có: \(a^2+2b+3=\left(a^2+1\right)+2\left(b+1\right)\ge2\left(a+b+1\right)\)
Tương tự ta có: \(b^2+2c+3\ge2\left(b+c+1\right)\); \(c^2+2a+3\ge2\left(c+a+1\right)\)
Từ đó suy ra\(\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\)\(\le\frac{a}{2\left(a+b+1\right)}+\frac{b}{2\left(b+c+1\right)}+\frac{c}{2\left(c+a+1\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\right)\)
Đặt \(K=\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\), ta đi chứng minh \(K\le1\)
Thật vậy: \(3-K=\frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}\)
\(=\frac{\left(b+1\right)^2}{\left(b+1\right)\left(a+b+1\right)}+\frac{\left(c+1\right)^2}{\left(c+1\right)\left(b+c+1\right)}+\frac{\left(a+1\right)^2}{\left(a+1\right)\left(c+a+1\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c+3\right)^2}{\left(b+1\right)\left(a+b+1\right)+\left(c+1\right)\left(b+c+1\right)+\left(a+1\right)\left(c+a+1\right)}\)(*)
Ta có: \(\left(b+1\right)\left(a+b+1\right)+\left(c+1\right)\left(b+c+1\right)+\left(a+1\right)\left(c+a+1\right)\)\(=3\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca+a^2+b^2+c^2+3\)
(Mình gõ bằng chương trình Universal Math Solver, không hiện ảnh thì vô thống kê hỏi đáp của mình, ngày 30/5/2020 vào lúc 8:25)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(a+b+c\right)^2+6\left(a+b+c\right)+9\right]=\frac{1}{2}\left(a+b+c+3\right)^2\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(3-K\ge\frac{\left(a+b+c+3\right)^2}{\frac{1}{2}\left(a+b+c+3\right)^2}=2\Rightarrow K\le1\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
30 tháng 5 2020
Áp dụng BĐT Cô-si,ta có :
\(a^2+1\ge2a\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+2b+3}\le\frac{a}{2a+2b+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b+1}\right)\)
Tương tự : \(\frac{b}{b^2+2c+3}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+c+1}\right);\frac{c}{c^2+2a+3}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a+1}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\right)\)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski,ta có :
\(\frac{a}{a+b+1}=\frac{a\left(a+b+c^2\right)}{\left(a+b+1\right)\left(a+b+c^2\right)}\le\frac{a^2+ab+ac^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}=\frac{a^2+ab+ac^2}{9}\)
TT : ...
Cộng lại ta được :
\(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\le\frac{a^2+ab+ac^2}{9}+\frac{b^2+bc+ba^2}{9}+\frac{c^2+ca+cb^2}{9}\)
\(=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac+ac^2+ba^2+cb^2}{9}\le\frac{3+3+3}{9}=1\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\le\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
6 tháng 4 2017
ap dung tinh chat ti le thuc ta co a/a+2b=b/b+2c+=c/c+2a=a+b+c/a+2b+b+2c+c+2a=1/3
do đóa/a+2b=b/b+2c=c/c+2a=1/3
hay a chia 3 = a+2b
b chia 3 =b+2c
c chia 3 =c+2a
ma a,b,c la cac so nguyen duong nen a,b,c chia het cho 3
nen a+b+c chia het 3
29 tháng 6 2020
Bài làm:
Ta có: \(\frac{a}{a+2b}=\frac{b}{b+2c}=\frac{c}{c+2a}=\frac{a+b+c}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{3}\)
Xét: \(\frac{a}{a+2b}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow3a=a+2b\Leftrightarrow2a=2b\Rightarrow a=b\)
Tương tự xét các phân thức còn lại ta chứng minh được: \(a=b=c\)
Thay \(\hept{\begin{cases}b=a\\c=a\end{cases}}\)ta được \(a+b+c=3a⋮3\)
\(\Rightarrow a+b+c⋮3\)
Từ giả thiết: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow ac=b^2\Rightarrow abc=b^3\)
Ta có: \(\frac{a^3-2b^3+c^3}{a+b+c}=\frac{a^3+b^3+c^3-3c^3}{a+b+c}=\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a+b+c}\)
Xét: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3-2b^3+c^3}{a+b+c}=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\) là 1 số nguyên (đpcm)
Sai r bạn ơi