Cho x,y > 0, x + y = 2. Tìm GTNN của P = \(\frac{2020}{x^2+y^2}+\frac{2019}{xy}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
SO
3
15 tháng 7 2020
@AZM: Thật không may dấu "=" không xảy ra bạn nhé :))
Ta có:\(S=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\)
Đặt \(a=\frac{x^2+y^2}{xy}\ge\frac{2\sqrt{x^2y^2}}{xy}=2\)
Khi đó:\(S=a+\frac{1}{a}=\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{a}\right)+\frac{3a}{4}\ge2\sqrt{\frac{a}{4}\cdot\frac{1}{a}}+\frac{3\cdot2}{4}=\frac{5}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y
15 tháng 7 2020
Bài làm:
Ta có: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\ge2\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2\right)}{xy}.\frac{xy}{\left(x^2+y^2\right)}}=2.1=2\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y\)
Vậy GTNN biểu thức là 2 khi \(x=y\)
Học tốt!!!!
21 tháng 7 2020
By Titu's Lemma we easy have:
\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{17}{4}\)
21 tháng 7 2020
Mk xin b2 nha!
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)
9 tháng 2 2020
+)Từ đề bài ta thấy:2020-2019=1
=>(x+2y)-(x+y)=1
=>x+y+y-x-y=1
=>y=1
+)Thay y=1 vào x+y=2019 được:
x+1=2019
=>x =2019-1
x =2018
Vậy x=2018\(\in\)N(vì nguyên dương)
Vậy GTNNx=2018
Chúc bn học tốt
21 tháng 8 2020
\(P=\frac{x^4}{x^2y^2+x^2yz+z^2x^2}+\frac{y^4}{y^2z^2+xzy^2+x^2y^2}+\frac{z^4}{z^2x^2+xyz^2+y^2z^2}\)
ÁP DỤNG BĐT CAUCHY - SCHWARZ TA ĐƯỢC:
=> \(P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)+xyz\left(x+y+z\right)}\) (1)
TA SẼ CHỨNG MINH: \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)+xyz\left(x+y+z\right)}\ge1\) (2)
<=> \(x^4+y^4+z^4+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)+xyz\left(x+y+z\right)\)
<=> \(x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\) (*)
TA ÁP DỤNG LIÊN TỤC 2 LẦN DẠNG BĐT SAU: \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\ge\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma\)
KHI ĐÓ TA SẼ ĐƯỢC: \(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
VẬY BĐT (*) LÀ LUÔN ĐÚNG.
=> TỪ (1) VÀ (2) => \(P\ge1\)
DẤU "=" XẢY RA <=> \(x=y=z\)
VẬY P MIN = 1 <=> x = y = z .
5 tháng 8 2016
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
5 tháng 8 2016
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t
9 tháng 9 2019
1/a/
\(A=\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}=\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{4}{x^2+y^2}\right)-\frac{1}{x^2+y^2}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}-\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=16-2=14\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
9 tháng 9 2019
b/
\(4B=\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{8}{xy}+16xy=\left(\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}\right)+\left(\frac{1}{xy}+16xy\right)+\frac{5}{xy}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{xy}.16xy}+\frac{5}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)
\(=16+8+20=44\)
\(\Rightarrow B\ge11\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(P=\frac{2020}{x^2+y^2}+\frac{2019}{xy}\)
\(P=\frac{2020}{\left(x+y\right)^2-2xy}+\frac{2019}{xy}\)
\(P=\frac{-2020}{2xy-4}+\frac{2019}{xy}\)
\(P=\frac{-1010}{xy-2}+\frac{2019}{xy}\)
Áp dụng bđt AM-GM : \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{4}{4}=1\)
\(P\ge\frac{-1010}{1-2}+\frac{2019}{1}=3029\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
Bonking cách em nè:)Gọn hơn xíu:v
\(P=\frac{2020}{x^2+y^2}+\frac{1010}{xy}+\frac{1009}{xy}\)\(=2020\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1009}{xy}\)
\(\ge\frac{2020.4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1009}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=2020+1009=3029\)
Đẳng thức xảy khi x = y = 1
Vậy..