Question

[Nàng tiên cá]

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, M là điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M lên BC, CA và AB.

a, CMR: \(AK^2+BH^2+CI^2=AI^2+CH^2+BK^2\)

b, Tìm vị trí của M sao cho tổng \(AK^2+BH^2+CI^2\)đạt GTNN.

Answer 1

[Incursion_03]

a, Áp dụng định lí Pytago vào câc tam giác vuông ta được

\(AK^2+BH^2+CI^2=AM^2-MK^2+BM^2-MH^2+CM^2-MI^2\)

                                       \(=\left(AM^2-MI^2\right)+\left(BM^2-MK^2\right)+\left(CM^2-MH^2\right)\)

                                         \(=AI^2+BK^2+CH^2\)

b, Đặt \(P=AK^2+BH^2+CI^2\)

\(\Rightarrow2P=\left(AK^2+BH^2+CI^2\right)+\left(AK^2+BH^2+CI^2\right)\)

             \(=\left(AK^2+BH^2+CI^2\right)+\left(AI^2+CH^2+BK^2\right)\)

             \(=\left(AK^2+BK^2\right)+\left(BH^2+HC^2\right)+\left(CI^2+IA^2\right)\)

Ta có bđt sau \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)(tự chứng minh)

Áp dụng ta được \(2P\ge\frac{\left(AK+BK\right)^2}{2}+\frac{\left(BH+HC\right)^2}{2}+\frac{\left(CI+IA\right)^2}{2}\)

                                   \(=\frac{AB^2}{2}+\frac{BC^2}{2}+\frac{CA^2}{2}=\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{4}\)không đổi

Dấu "=" xảy ra <=> M là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC