Question

[tth_new]

Giúp em bài này bằng phương pháp đồng dư với! Em ngồi sáng giờ ko ra:(

Chứng minh rằng \(300^{3000}-1⋮1001\)

Answer 1

[ღᏠᎮღ🆃🆄ấ🅽ঔ 🅽🅰🅼ঌ❄๖ۣۜ]

 Lưu ý rằng 1001 = 7 * 11 * 13. 

(i) Mod hoạt động 7 
Theo Định lý nhỏ của Fermat, chúng ta có 300 ^ 6 = 1 (mod 7) 
==> 300 ^ 3000 = (300 ^ 6) ^ 500 = 1 ^ 500 = 1 (mod 7). 
Do đó, 300 ^ 3000 - 1 chia hết cho 7. 

(ii) Mod hoạt động 11 
Theo Định lý nhỏ của Fermat, chúng ta có 300 ^ 10 = 1 (mod 11) 
==> 300 ^ 3000 = (300 ^ 10) ^ 300 = 1 ^ 300 = 1 (mod 11). 
Do đó, 300 ^ 3000 - 1 chia hết cho 11. 

(iii) Mod hoạt động 13 
Theo Định lý nhỏ của Fermat, chúng ta có 300 ^ 12 = 1 (mod 13) 
==> 300 ^ 3000 = (300 ^ 12) ^ 250 = 1 ^ 250 = 1 (mod 13). 
Do đó, 300 ^ 3000 - 1 chia hết cho 13. 

Vì 1001 = 7 * 11 * 13 và 7, 11 và 13 là cặp tương đối nguyên tố, 
chúng tôi kết luận rằng 300 ^ 3000 - 1 chia hết cho 1001

Answer 2

[ღᏠᎮღ🆃🆄ấ🅽ঔ 🅽🅰🅼ঌ❄๖ۣۜ]

301 = 7 * 43, 

vì vậy 300 ≡ -1 (mod 7) 

Sau đó 300 ^ 3000 - 1 (-1) ^ 3000 - 1 ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 7) 

Vậy 7 chia 300 ^ 3000 - 1 



297 = 27 * 11, 

vì vậy 300 ≡ 3 (mod 11) 

Sau đó, 
300 ^ 3000 - 1 3 ^ 3000 - 1 ≡ (3 ^ 5) ^ 600 - 1 (mod 11) 

Nhưng 3 ^ 5 = 243 = 22 * ​​11 + 1 
so 3 ^ 5 1 (mod 11) 

Sau đó 
300 ^ 3000 - 1 (3 ^ 5) ^ 600 - 1 ≡ 1 ^ 600 - 1 ≡ 0 (mod 11) 

Vì vậy, 11 chia 300 ^ 3000 - 1 



Cuối cùng, 299 = 23 * 13, 

vì vậy 300 1 (mod 13) 

Sau đó 
300 ^ 3000 - 1 1 ^ 3000 - 1 ≡ 0 (mod 13) 

Vì vậy, 13 chia 300 ^ 3000 - 1 


Vì 7, 11, 13 đều là số nguyên tố, nó theo đó là sản phẩm của họ, 1001 chia 300 ^ 3000 - 1