cho x,y >0 và x+y\(\le\)4
chứng minh rằng B=\(\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{35}{xy}+2xy\ge17\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 3 2020
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(x^2-xy+y^2\ge x^2+y^2-\frac{x^2+y^2}{2}=\frac{x^2+y^2}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{x+y}{x^2-xy+y^2}\le\frac{2\left(x+y\right)}{x^2+y^2}\le\frac{2\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{x^2+y^2}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
DV
1
27 tháng 3 2019
Với \(x,y>0\). Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(x^4+y^2\ge2x^2y\)
\(\Rightarrow x^4+y^2+2xy^2\ge2x^2y+2xy^2=2xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^4+y^2+2xy^2}\le\frac{1}{2xy\left(x+y\right)}\)(đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 6 2019
BĐT Vasc cơ bản:
Cho các số dương \(abc=1\) thì:
\(\sum\frac{1}{a^2+a+1}\ge1\)
Chứng minh:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{yz}{x^2}\\b=\frac{xz}{y^2}\\c=\frac{xy}{z^2}\end{matrix}\right.\) thì BĐT trở thành:
\(\sum\frac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}\ge1\Rightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+x^2yz+y^2xz+z^2xy+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\ge1\)
Nhân chéo và thực hiện khai triển:
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\)
Sau đó rút gọn ta được:
\(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge x^2yz+y^2xz+z^2xy\)
BĐT trên chính là dạng \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
Vậy BĐT đã được chứng minh xong
13 tháng 6 2021
Với mọi số thực ta luôn có:
`(x-y)^2>=0`
`<=>x^2-2xy+y^2>=0`
`<=>x^2+y^2>=2xy`
`<=>(x+y)^2>=4xy`
`<=>(x+y)^2>=16`
`<=>x+y>=4(đpcm)`
TQ
13 tháng 6 2021
\(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}=\dfrac{x+3+y+3}{\left(x+3\right)\left(y+3\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+6}{3x+3y+13}\)(vì \(xy=4\))
=> \(\dfrac{x+y+6}{3x+3y+13}\)≤\(\dfrac{2}{5}\)
<=> \(5\left(x+y+6\right)\)≤\(2\left(3x+3y+13\right)\)
<=>\(6x+6y+26-5x-5y-30\)≥\(0\)
<=> \(x+y-4\)≥\(0\)
Áp dụng BĐT AM-GM \(\dfrac{a+b}{2}\)≥\(\sqrt{ab}\)
Ta có \(\dfrac{x+y}{2}\)≥\(\sqrt{xy}\)
<=>\(x+y\) ≥ 2\(\sqrt{xy}\)
=>2\(\sqrt{xy}-4\)≥\(0\)
<=> \(4-4\)≥0
<=>0≥0 ( Luôn đúng )
Vậy \(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}\)≤\(\dfrac{2}{5}\)
17 tháng 6 2016
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/
V
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 6 2019
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}+4xy+\frac{1}{4xy}\)
\(A\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)
\(A\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=7\)
Dấu "=" khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(B=2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+2xy+\frac{32}{xy}+\frac{2}{xy}\)
\(B\ge\frac{2.4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{2xy.\frac{32}{xy}}+\frac{2}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)
\(B\ge\frac{8}{4^2}+2.8+\frac{8}{4^2}=17\)
Dấu "=" khi \(a=b=2\)