Question

[Siêu Quậy Quỳnh]

giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)\sqrt{y}+y\sqrt{x-y}+1=x+\sqrt{xy-y^2}\\x^2y-3x+2+\left(2x^2-3x\right)\sqrt{y-1}=0\end{matrix}\right.\)

Answer 1

[tthnew]

Kí hiệu hai pt lần lượt là (1) và (2).

ĐKXĐ:\(x\ge y\ge1\)

Rất tự nhiên đặt: \(\sqrt{x-y}=a;\sqrt{y}=b\Rightarrow a^2+b^2=x\)

\(PT\left(1\right)\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)+1=a^2+b^2+ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(a+b+1\right)=0\)

Dễ thấy a + b + 1 > 0(do cách đặt)

+) Với a = 1 thì \(x-1=y\ge1\Rightarrow x\ge2\)

Thay vào pt (2): \(x^3-x^2-3x+2+\left(2x^2-3x\right)\sqrt{x-2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2+x-1\right)+\left(2x^2-3x\right)\sqrt{x-2}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}\left[\sqrt{x-2}\left(x^2+x-1\right)+2x^2-3x\right]=0\)

Cái ngoặc to vô nghiệm vì: \(x^2+x-1=\left(x^2+1\right)+\left(x-2\right)>0\forall x\ge2\)

Và \(2x^2-3x=2x\left(x-2\right)+x>0\forall x>2\)

Do đó \(\sqrt{x-2}=0\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=1\)

+) Với b = 1 \(\Rightarrow y=1\)

Thay xuống pt (2): \(x^2-3x+2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\) (đều thỏa mãn)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left\{\left(2;1\right);\left(1;1\right)\right\}\)

Ai đó check giúp em với ạ!:3