K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
12 tháng 5 2019

\(2\sqrt{ab}\le a+b\le c\Rightarrow c^2\ge4ab\Rightarrow\frac{c^2}{ab}\ge4\)

\(P=1+\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{a}\right)^2+1+\left(\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2+1\)

\(P=3+\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{b}{a}\right)^2+\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2\)

\(P\ge3+2\sqrt{\frac{\left(ab\right)^2}{\left(ab\right)^2}}+2\sqrt{\frac{\left(ab\right)^2}{c^4}}+2\sqrt{\frac{c^4}{\left(ab\right)^2}}\)

\(P\ge5+2\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{c^2}{ab}\right)=5+2\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{c^2}{16ab}+\frac{15c^2}{ab}\right)\)

\(P\ge5+2\left(2\sqrt{\frac{abc^2}{16abc^2}}+\frac{15}{16}.4\right)=\frac{27}{2}\)

\(\Rightarrow P_{min}=\frac{27}{2}\) khi \(2a=2b=c\)

12 tháng 5 2019

Sao bạn ko nhóm (a/c)2 với (c/a)2

NV
5 tháng 3 2022

Ta có:

\(\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{c+3}\ge\dfrac{4}{a+3b+c+3}=\dfrac{4}{2b+6}=\dfrac{2}{b+3}\)

Tương tự: 

\(\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{a+3}\ge\dfrac{2}{c+3}\)

\(\dfrac{1}{c+3a}+\dfrac{1}{b+3}\ge\dfrac{2}{a+3}\)

Cộng vế:

\(\sum\dfrac{1}{a+3b}+\sum\dfrac{1}{a+3}\ge\sum\dfrac{2}{a+3}\)

\(\Rightarrow\sum\dfrac{1}{a+3b}\ge\sum\dfrac{1}{a+3}\) (đpcm)

17 tháng 7 2021

\(\)\(=>a^5+b^5+c^5-3\ge0\)

\(< =>a^5+b^5+c^5-\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge0\)

\(>=>a^2.a^3-a^3+b^2.b^3-b^3+c^2.c^3-c^3\ge0\)

\(< =>a^2\left(a^3-1\right)+b^2\left(b^3-1\right)+c^2\left(c^3-1\right)\ge0\)(luôn đúng)

vì \(a^2\left(a^3-1\right)\ge0;b^2\left(b^3-1\right)\ge0;c^2\left(c^3-1\right)\ge0\)

Vậy \(Vt\ge3\)(đpcm)

 

\(\)

\(\)

17 tháng 7 2021

Sửa đề: \(a^3+b^3+c^3=3\) 

17 tháng 3 2021

Đề bài bị nhầm phải ko bạn.

Ta đặt P=\(\dfrac{b^3}{a}+\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{c^3}{b}\) .Ta cần chứng minh P\(\ge3\)\(\dfrac{b^3}{a}+ab\ge2b^2;\dfrac{a^3}{c}+ac\ge2a^2;\dfrac{c^3}{b}+bc\ge2c^2\Rightarrow\dfrac{b^3}{a}+\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{c^3}{b}\ge2a^2+2b^2+2c^2-ab-ca-bc\ge ab+bc+ca\Rightarrow2\cdot P\ge2ab+2bc+2ca\left(1\right)\) \(\dfrac{b^3}{a}+a+1\ge3b;\dfrac{a^3}{c}+c+1\ge3a;\dfrac{c^3}{b}+b+1\ge3c\Rightarrow\dfrac{b^3}{a}+\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{c^3}{b}\ge3a+3b+3c-3-a-b-c=2a+2b+2c-3\left(2\right)\) Cộng từng vế của 2 bđt (1) và (2) ta được:

\(\Rightarrow3\cdot\left(\dfrac{b^3}{a}+\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{c^3}{b}\right)\ge2\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)-3=12-3=9\Rightarrow3P\ge9\Rightarrow P\ge3\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

17 tháng 3 2021

sao 2a\(^2+2b^2+2c^2-ab-ac-bc>ab+bc+ac\) vậy

15 tháng 2 2021

Bổ đề: \(a^3+b^3+c^3\ge\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)^3\) \(\left(\forall a,b,c>0\right)\)

chứng minh bổ đề: \(\Sigma_{cyc}\left(\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}\right)+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\ge3\sqrt[3]{\left(\Pi_{cyc}\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}\right).\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}}\)

hoán vị theo a,b,c

ta được: \(3\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{9.\left(a^3+b^3+c^3\right)}}\)

mũ 3 hai vế ta có được bất đẳng thức bổ đề: \(a^3+b^3+c^3\ge\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)^3\)

Áp dụng bất C-S: 

\(\sqrt{a^3+3b}+\sqrt{b^3+3c}+\sqrt{c^3+3a}\ge\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(a^3+b^3+c^3+3a+3b+3c\right)}\)

\(\ge\sqrt{3.\left[3+3\left(a+b+c\right)\right]}=\sqrt{36}=6\)

Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1

8 tháng 1 2022

Từ a+b+c=0 => b+c=-a 

Theo đề ra ta có a+ b3 + c= 0 

=> a3 + (b+c)(b2 - bc + c2 )=0 

<=> a3- a[(b + c )2 -3bc]= 0 

<=> a3- [( -a )2 - 3bc] = 0 

<=> a3 -  a3 +3bc = 0 

<=> 3bc= 0 

<=> a =0 hoặc b=0 hoặc c=0 ( đpcm) 

cho mik điểm nha bạn ơiii

 

NV
19 tháng 9 2021

\(\dfrac{a}{a+2b^3}=a-\dfrac{2ab^3}{a+b^3+b^3}\ge a-\dfrac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}}=a-\dfrac{2}{3}.b\sqrt[3]{a^2}\ge a-\dfrac{2}{9}b\left(a+a+1\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+2b^3}\ge a-\dfrac{2}{9}\left(2ab+b\right)\)

Tương tự: \(\dfrac{b}{b+2c^3}\ge b-\dfrac{2}{9}\left(2bc+c\right)\) ; \(\dfrac{c}{c+2a^3}\ge c-\dfrac{2}{9}\left(2ac+a\right)\)

Cộng vế:

\(A\ge a+b+c-\dfrac{2}{9}\left(2ab+2bc+2ca+a+b+c\right)=3-\dfrac{2}{9}\left[2\left(ab+bc+ca\right)+3\right]\)

\(A\ge3-\dfrac{2}{9}\left[\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2+3\right]=1\)

7 tháng 9 2023

Trước tiên ta đi chứng minh BĐT phụ là:

Với �,�>0 thì �2+�4≥��(�2+�2)

Cách CM:

BĐT trên tương đương với: (�−�)2(�2+��+�2)≥0 (luôn đúng)

Quay trở về bài toán chính: Áp dụng BĐT phụ trên :

⇒��4+�4+�≤���(�2+�2)+�2��=���(�2+�2+�2)=�2�2+�2+�2

Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

⇒�≤�2+�2+�2�2+�2+�2=1 (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

7 tháng 9 2023

loading...

Nó bị mất cái dấu gạch ngang chỗ phân số nha b