Question

[kkkkkk]

các số x,y,z>0 và thỏa mãn 1/(x+1) +1/(y+2) +1(z+3)<= 1   Tìm  giá trị nhỏ nhất của P= x+y+z + 1/(x+y+z).

Answer 1

[tth_new]

Em có cách này anh/chị check thử ạ.

Dự đoán xảy ra cực trị tại: x = 2; y = 1; z = 0

Áp dụng BĐT quen thuộc: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\),ta có: \(1\ge\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\ge\frac{9}{x+y+z+6}\)

\(\Rightarrow x+y+z+6\ge9\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)

Đặt \(t=x+y+z\ge3\).Ta cần tìm min của: \(P\left(t\right)=t+\frac{1}{t}\) với \(t\ge3\)

Ta có: \(P\left(t\right)=t+\frac{1}{t}=\left(\frac{t}{9}+\frac{1}{t}\right)+\frac{8t}{9}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{t}{9}.\frac{1}{t}}+\frac{8t}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8t}{9}\ge\frac{2}{3}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}t=3\\\frac{1}{x+1}=\frac{1}{y+2}=\frac{1}{z+3}=\frac{1}{3}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x+1=y+2=z+3=3\left(2\right)\end{cases}}\)

Giải (2) ta được x = 2; y = 1; z = 0 (t/m x + y + z = 3)

Vậy \(P_{min}=\frac{10}{3}\Leftrightarrow x=2;y=1;z=0\)