Cho a+b+c=\(\frac{1}{abc}\) CMR: \(\sqrt{\frac{\left(1+b^2c^2\right)\left(1+a^2c^2\right)}{c^2+a^2b^2c^2}}\) = a+b
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 8 2019
\(a+b+c=\frac{1}{abc}\)
\(\Leftrightarrow abc\left(a+b+c\right)=1\)(*)
\(\Leftrightarrow a^2bc+ab^2c+abc^2=1\)
Ta có :
\(1+b^2c^2=a^2bc+ab^2c+abc^2+b^2c^2\)
\(=abc\left(a+b\right)+bc^2\left(a+b\right)\)
\(=bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
Tương tự ta cũng có \(1+a^2c^2=ac\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)
Khi đó : \(\left(1+b^2c^2\right)\left(1+a^2c^2\right)=abc^2\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)(1)
Xét \(c^2+a^2b^2c^2\)
\(=a^2b^2c^2+\frac{abc^3}{abc}\)
\(=a^2b^2c^2+abc^3\left(a+b+c\right)\)( theo giả thiết )
\(=a^2b^2c^2+a^2bc^3+ab^2c^3+abc^4\)
\(=abc^2\left(ab+bc+ca+c^2\right)\)
\(=abc^2\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra :
\(\sqrt{\frac{\left(1+b^2c^2\right)\left(1+a^2c^2\right)}{c^2+a^2b^2c^2}}=\sqrt{\frac{abc^2\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{abc^2\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\left(a+b\right)^2}=\left|a+b\right|=a+b\)( vì \(a,b\in Z^+\) )
Ta có đpcm.
23 tháng 6 2016
ta có: \(a+b+c=\frac{1}{abc}=>abc\left(a+b+c\right)=1.\)
thay 1 vào các biểu thức 1+b2c2 và 1+a2c2 có:
\(1+b^2c^2=abc\left(a+b+c\right)+b^2c^2=bc\left(a^2+ab+ac+bc\right)=bc\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)(1)
tương tự \(1+a^2c^2=ac\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)(2)
Xét \(c^2+a^2b^2c^2=c^2\left(1+b^2a^2\right)=c^2\left(a+c\right)\left(b+c\right)ab\)(3)
Thay (1)(2)(3) vào Vế trái được:\(\sqrt{\left(a+b\right)^2}=a+b\left(đpcm\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 5 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:
\((2a^2+b^2)(2a^2+c^2)=(a^2+a^2+b^2)(a^2+c^2+a^2)\geq (a^2+ac+ab)^2\)
\(=[a(a+b+c)]^2\)
\(\Rightarrow \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a^3}{[a(a+b+c)]^2}=\frac{a}{(a+b+c)^2}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:
\(\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a+b+c}{(a+b+c)^2}=\frac{1}{a+b+c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$