Cho \(B\:=\:\frac{1}{x^2+y^2}-\frac{2}{xy}\:+\:xy\) và \(x+ y\le2\)
Tìm GTLN của B
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 4 2020
Bài 2 bạn tham khảo cách làm của cô Linh Chi tại đây nhé :
Câu hỏi của nguyen trung nghia - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Học tốt và cá tháng tư đừng để bị troll nha !!!!!!!!!!!
1 tháng 4 2020
B1:
\(M=\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
\(=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
Nhờ dự đoán được điểm rơi,ta chứng minh bất đẳng thức sau luôn đúng:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\le\frac{5}{2}\)
Thật vậy !!!
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\le\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{y}{x}-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x-y}{2y}+\frac{y-2x}{x}\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x^2-xy+2y^2-4xy}{2xy}\le0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-5xy+2y^2\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)\left(2x-y\right)\le0\) ( đúng )
Dấu "=" xảy ra tại \(x=1;y=2\)
Vậy \(M_{max}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow x=1;y=2\)
7 tháng 7 2021
\(a,B=\left(\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)+\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{xy}\right)}{1-xy}\right):\left(\frac{1-xy+x+y+2xy}{1-xy}\right)\)
\(B=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+x\sqrt{y}+y\sqrt{x}+\sqrt{x}-\sqrt{y}-x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{1-xy}.\frac{1-xy}{1+xy+x+y}\)
\(B=\frac{2\sqrt{x}+2y\sqrt{x}}{x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)}\)
\(B=\frac{2\sqrt{x}\left(y+1\right)}{\left(y+1\right)\left(x+1\right)}\)
\(B=\frac{2\sqrt{x}}{x+1}\)
\(b,B=\frac{2\sqrt{\frac{2}{2+\sqrt{3}}}}{\frac{2}{2+\sqrt{3}}+1}\)
\(\frac{2\sqrt{\frac{4}{4+2\sqrt{3}}}}{\frac{4}{4+2\sqrt{3}}+1}\)
\(B=\frac{2\sqrt{\frac{4}{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}}{\frac{4}{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}+1}\)
\(B=\frac{2.2}{\sqrt{3}+1}:\frac{4+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}\)
\(B=\frac{4}{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}\)
\(B=\left(\frac{2}{\sqrt{3}+1}\right)^2\)
\(c,B=\frac{2\sqrt{x}}{x+1}\)
\(B=\frac{2}{\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}}\)
ta có :
\(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}}=2\)
dấu "=" xảy ra khi \(x=1\)
\(< =>MAX:B=\frac{2}{2}=1\)
7 tháng 7 2021
Đk: x \(\ge\)0; y \(\ge\)0; xy \(\ne\)1
Ta có: B = \(\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{1-\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{1+\sqrt{xy}}\right):\left(1+\frac{x+y+2xy}{1-xy}\right)\)
B = \(\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{xy}+1\right)+\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{xy}\right)}{\left(1-\sqrt{xy}\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)}:\frac{1-xy+x+y+2xy}{1-xy}\)
B = \(\frac{x\sqrt{y}+\sqrt{y}+y\sqrt{x}+\sqrt{x}+\sqrt{x}-x\sqrt{y}-\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{1-xy}\cdot\frac{1-xy}{x+y+xy+1}\)
B = \(\frac{2\sqrt{x}+2y\sqrt{x}}{\left(y+1\right)\left(x+1\right)}=\frac{2\sqrt{x}\left(y+1\right)}{\left(y+1\right)\left(x+1\right)}=\frac{2\sqrt{x}}{x+1}\)
b) Ta có: \(x=\frac{2}{2+\sqrt{3}}=\frac{2\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=\frac{4-2\sqrt{3}}{4-3}=4-2\sqrt{3}\)
=> \(x=3-2\sqrt{3}+1=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\)=> \(\sqrt{x}=\sqrt{3}-1\)
Do đó, B = \(\frac{2.\left(\sqrt{3}-1\right)}{4-2\sqrt{3}+1}=\frac{2\sqrt{3}-2}{5-2\sqrt{3}}=\frac{\left(2\sqrt{3}-2\right)\left(5+2\sqrt{3}\right)}{\left(5-2\sqrt{3}\right)\left(5+2\sqrt{3}\right)}=\frac{10\sqrt{3}+12-10-4\sqrt{3}}{25-12}\)
B = \(\frac{6\sqrt{3}+2}{13}\)
c) Ta có: \(\frac{1}{B}=\frac{x+1}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\ge2\cdot\sqrt{\frac{\sqrt{x}}{2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}=2\cdot\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)(đk: x \(\ne\)0)
=> \(B\le\frac{1}{1}=1\)Dấu "==" xảy ra<=> \(\frac{\sqrt{x}}{2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) => \(2\sqrt{x}=2\) => \(x=1\)
9 tháng 9 2019
1/a/
\(A=\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}=\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{4}{x^2+y^2}\right)-\frac{1}{x^2+y^2}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}-\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=16-2=14\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
9 tháng 9 2019
b/
\(4B=\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{8}{xy}+16xy=\left(\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}\right)+\left(\frac{1}{xy}+16xy\right)+\frac{5}{xy}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{xy}.16xy}+\frac{5}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)
\(=16+8+20=44\)
\(\Rightarrow B\ge11\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
1 tháng 6 2017
TXD : \(\hept{\begin{cases}y\left(x+y\right)\ne0\\\left(x+y\right)x\ne0\\\left(x-y\right)\left(x+y\right)\ne0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ne y\\x\ne-y\\xy\ne0\end{cases}}}\)
Câu b :
\(A=\frac{xy-\left(x+y\right)y}{xy\left(x+y\right)}:\frac{y^2+x\left(x-y\right)}{x\left(x^2-y^2\right)}:\frac{x}{y}\)
\(=\frac{x^2-xy+y^2}{xy\left(x+y\right)}.\frac{x\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{x^2-xy+y^2}.\frac{y}{x}\)\(=1-\frac{y}{x}\)
Để \(A>1\)mà \(y< 0\)nên \(x\)và \(y\)phải cùng dấu \(\Rightarrow x< 0\)
23 tháng 12 2018
ĐKXĐ : \(x,y\ne0\)\(;\)\(x\ne y\)
\(a)\) \(P=\frac{2}{x}-\left(\frac{x^2}{x^2-xy}+\frac{x^2-y^2}{xy}-\frac{y^2}{y^2-xy}\right):\frac{x^2-xy+y^2}{x-y}\)
\(P=\frac{2}{x}-\left(\frac{x^2y}{xy\left(x-y\right)}+\frac{\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)}{xy\left(x-y\right)}+\frac{xy^2}{xy\left(x-y\right)}\right):\frac{x^2-xy+y^2}{x-y}\)
\(P=\frac{2}{x}-\left(\frac{xy\left(x+y\right)+\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)}{xy\left(x-y\right)}\right):\frac{x^2-xy+y^2}{x-y}\)
\(P=\frac{2}{x}-\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{xy\left(x-y\right)}.\frac{x-y}{x^2-xy+y^2}\)
\(P=\frac{2y}{xy}-\frac{x+y}{xy}=\frac{y-x}{xy}\)
\(b)\)
+) Với \(\left|2x-1\right|=1\)\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}2x-1=1\\2x-1=-1\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=0\end{cases}}}\)
Mà \(x\ne0\) ( ĐKXĐ ) nên \(x=1\)
+) Với \(\left|y+1\right|=\frac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}y+1=\frac{1}{2}\\y+1=\frac{-1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=\frac{-1}{2}\\y=\frac{-3}{2}\end{cases}}}\)
Thay \(x=1;y=\frac{-1}{2}\) vào \(A=\frac{y-x}{xy}\) ta được : \(A=\frac{\frac{-1}{2}-1}{1.\frac{-1}{2}}=\frac{\frac{-3}{2}}{\frac{-1}{2}}=3\)
Thay \(x=1;y=\frac{-3}{2}\) vào \(A=\frac{y-x}{xy}\) ta được : \(A=\frac{\frac{-3}{2}-1}{1.\frac{-3}{2}}=\frac{\frac{-5}{2}}{\frac{-3}{2}}=\frac{15}{4}\)
Vậy ...
TT
2
8 tháng 4 2019
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :
\(x^4+y^2\ge2\sqrt{x^4y^2}=2x^2y=2xy\cdot x=x\)( vì \(xy=1\))
\(\Rightarrow\frac{x}{x^4+y^2}\le\frac{x}{x}=1\)
Hoan toàn tương tự : \(\frac{y}{x^2+y^4}\le\frac{y}{y}=1\)
Khi đó :
\(\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}\le1+1=2\)
Hay \(A\le2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^4=y^2\\x^2=y^4\\xy=1\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=1\\x=y=-1\end{cases}}}\)
12 tháng 11 2018
\(A=\frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{y^2-yz+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{z^2-zx+x^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x-y\right)^2+\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(y-z\right)^2+\frac{1}{2}\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(z-x\right)^2+\frac{1}{2}\left(z^2+x^2\right)}}\)
\(\le\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(z^2+x^2\right)}}\)
\(\le\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)