Cho abc = 1 và a+b+c >\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Chứng tỏ: 1 trong ba số a,b,c có 1 số lớn hơn 1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 7 2019
\(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)=> \(a+b+c=\frac{ab+bc+ac}{abc}=ab+bc+ac\)
Ta có \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=\left(abc-1\right)+a+b+c-ab-bc-ac=0\)
=> có ít nhất 1 trong 3 số a,b,c bằng 1
Vậy có ít nhất 1 trong 3 số a,b,c bằng 1
7 tháng 10 2015
Thay 1 = abc ta có: \(a+b+c=\frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}+\frac{abc}{c}\)
<=> a + b + c = bc + ac + ab
<=> (a - ac) + (b - bc) + (c - ab) = 0
<=> a(1 - c) + b(1 - c) + (c - \(\frac{1}{c}\)) = 0
<=> ca(1 - c) + cb(1 - c) + (c - 1)(c + 1) = 0
<=> (1 - c)(ca + cb - c - 1) = 0
<=> (1 - c)[c(a -1) + (cb - abc)]= 0
<=> (1 - c)[c(a - 1) + cb(1 - a)]= 0
<=> (1 - c)(a - 1)(c - cb) = 0
<=> (1 - c)(a - 1)(1 - b).c = 0 <=> a = 1 hoặc b = 1 hoặc c = 1
Vậy....
11 tháng 6 2015
2) M = (x25 + 1 + 1 + 1 + 1) - 5x5 + 2
Áp dụng BĐT Cô - si cho 5 số dương x25; 1;1;1;1 ta có: x25 + 1 + 1 + 1 + 1 \(\ge\)5.\(\sqrt[5]{x^{25}.1.1.1.1}=x^5\) = 5x5
=> M \(\ge\) 5x5 - 5x5 + 2 = 2
Vậy M nhỏ nhất = 2 khi x25 = 1 => x = 1
ML
11 tháng 6 2015
\(ab=\frac{1}{c};c=\frac{1}{ab}\)
\(a+b+c-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=a+b+\frac{1}{ab}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-ab\)
\(=\left(a+b-ab-1\right)+\left(\frac{1}{ab}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+1\right)\)
\(=-\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\left(1-\frac{1}{a}\right)\left(1-\frac{1}{b}\right)\)
\(=-\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\frac{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}{ab}\)
\(=-\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\left(a-1\right)\left(b-1\right)c\)
\(=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)
Do biểu thức ban đầu dương nên ta có đpcm
12 tháng 2 2017
1 ) Vì b + c + a > b => \(\frac{a}{b}>\frac{a}{b+c+a}\)
2 ) Ta có :
\(\frac{a}{b}>\frac{a}{b+c+a}\)
\(\frac{b}{c}>\frac{b}{b+c+a}\)
\(\frac{c}{a}>\frac{c}{b+c+a}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}>\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{b+c+a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\) (ddpcm)
AK
13 tháng 1 2019
Ta có : \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=\frac{ab+bc+ac}{abc}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=ab+bc+ac\left(abc=1\right)\)
\(\Leftrightarrow1+a+b+c-ab-bc-ac-1=0\)
\(\Leftrightarrow abc+a+b+c-ab-bc-ac-1=0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(c-1\right)-a\left(c-1\right)-b\left(c-1\right)+c-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)a = 1 hoặc b = 1 hoặc c = 1
=> Đpcm
8 tháng 1 2020
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\ge\frac{9}{ab+bc+ca}\ge\frac{27}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}\)
\(\frac{1}{abc}\ge\frac{1}{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3}=\frac{27}{\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{27}{6^3}=\frac{1}{8}\)
Cộng lại ta được:
\(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}\ge\frac{27}{8}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=2\)
Từ \(a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow a+b+c>\frac{ab+bc+ac}{abc}=ab+bc+ac..\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ac>0\Leftrightarrow\left(abc-1\right)+a+b+c-ab-ac-bc>0\)
\(\Leftrightarrow\left(abc-ab\right)+\left(c-1\right)+\left(a-ac\right)+\left(b-bc\right)>0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(c-1\right) +\left(c-1\right)-a\left(c-1\right)-b\left(c-1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-1\right)\left[\left(ab-a\right)+\left(1-b\right)\right]>0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-1\right)\left[a\left(b-1\right)-\left(b-1\right)\right]>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\)
Ta xảy ra 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Trong 3 nhân tử (a-1), (b-1), (c-1) có 2 nhân tử nhỏ hơn 0, một nhân tử lớn hơn 0
=> Trong 3 số a, b, c có 2 số nhỏ hơn 1 , một số lớn hơn 1 (1)
Trường hợp 2: 3 nhân tử (a-1), (b-1), (c-1) đều lớn hơn 0
=> 3 số a, b,c lớn hơn 1 (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Bài làm
\(a+b+c\)\(=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=\frac{ab+bc+ca}{abc}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca+abc-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-ac\right)+\left(b-bc\right)+\left(-ab+abc\right)+\left(c+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-a\left(c-1\right)-b\left(c-1\right)+ab\left(c-1\right)+\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(-a-b+ab+1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[b\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\right]\left(c-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(a-1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=1\end{cases}}\)(đpcm)