Cho a>0, b>0 và ab=1
Chứng minh \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+\frac{8}{a^2+b^2+6}\ge3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MT
1
25 tháng 8 2015
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{a+b}=b+a+\frac{2}{a+b}=\left(\frac{a+b}{2}+\frac{2}{a+b}\right)+\frac{a+b}{2}\ge2.\sqrt{\frac{a+b}{2}.\frac{2}{a+b}}+\frac{2\sqrt{ab}}{2}=2+1=3\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b và (a + b)2 = 4 => a = b = 1
TH
1
TA
27 tháng 7 2017
Ta có
\(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{ab^2+b^2}{b^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{ab^2+b^2}{2b}=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\) (1)
Tương tự \(\frac{b+1}{c^2+1}\ge\left(b+1\right)-\frac{bc+c}{2}\) (2)
và \(\frac{c+1}{a^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{ca+a}{2}\) (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế:
\(VT\ge\left(a+b+c+3\right)-\frac{\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)}{2}\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3}{2}=3\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 2 2020
1.
\(6=\frac{\sqrt{2}^2}{x}+\frac{\sqrt{3}^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}=\frac{5+2\sqrt{6}}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{3}}\\x+y=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right.\)
Bạn tự giải hệ tìm điểm rơi nếu thích, số xấu quá
2.
\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow0< t\le1\)
\(VT\ge\sqrt{t^2+\frac{81}{t^2}}=\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}+\frac{80}{t^2}}\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{t^2}{t^2}}+\frac{80}{1^2}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 2 2020
3.
\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{a^6}{b^{15}.a^6}}=\frac{5}{b^3}\)
Tương tự: \(\frac{3b^2}{c^5}+\frac{2}{b^3}\ge\frac{5}{a^3}\) ; \(\frac{3c^2}{d^5}+\frac{2}{c^3}\ge\frac{5}{d^3}\) ; \(\frac{3d^2}{a^5}+\frac{2}{d^2}\ge\frac{5}{a^3}\)
Cộng vế với vế và rút gọn ta được: \(3VT\ge3VP\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=1\)
4.
ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)
\(y^2=\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)^2\le2\left(x^2+4-x^2\right)=8\)
\(\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\Rightarrow y_{max}=2\sqrt{2}\) khi \(x=\sqrt{2}\)
Mặt khác do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\\sqrt{4-x^2}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+\sqrt{4-x^2}\ge-2\)
\(y_{min}=-2\) khi \(x=-2\)
KB
16 tháng 5 2019
1 ) (a+b+c)^2 >= 3(ab+bc+ac)
<=> a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ac
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 >= 2ab + 2bc + 2ac
<=> a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + a^2 - 2ac + c^2 >= 0
<=> (a - b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 >= 0
( luôn đúng với mọi a ; b ; c )
( đpcm )
2 ) P = \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}+\frac{ab+bc+ac}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ac\right)}+\frac{ab+bc+ac}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ac\right)}\)
AD BĐT Cô - si và BĐT phụ đã cmt ở trên ta có : \(P\ge2.\frac{1}{3}+\frac{8.3.\left(ab+bc+ac\right)}{9\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a = b = c
16 tháng 5 2019
Khôi Bùi : theo e ý 2 có thể đơn giản hóa vấn đề bằng cách đặt ẩn phụ
đặt \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}=t\left(t\ge3\right)\)
\(\Rightarrow P=t+\frac{1}{t}=\frac{t}{9}+\frac{1}{t}+\frac{8}{9}t\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(P\ge2.\sqrt{\frac{t}{9}.\frac{1}{t}}+\frac{8}{9}t\ge\frac{2.1}{3}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b
TN
3 tháng 2 2018
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{ab^2+b^2}{b^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{ab^2+b^2}{2b}=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\ge a+b+c+3-\frac{a+b+c+ab+bc+ac}{2}\)
\(\ge a+b+c+3-\frac{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}\)
\(\ge3+3-\frac{3+\frac{3^2}{3}}{2}=3\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
C
17 tháng 3 2016
Ta có: \(a+1-\frac{a+1}{b^2+1}=\frac{ab^2+b^2}{b^2+1}\le\frac{ab^2+b^2}{2b}=\frac{ab}{2}+\frac{b}{2}\) vì \(b^2+1\ge2b\)
nên \(\frac{a+1}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b}{2}-\frac{ab}{2}\) Tương tự:
Vậy ta có: \(VT\ge a+b+c+3-\frac{a+b+c}{2}-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)
Vì \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{9}{3}=3\)
nên \(VT\ge3+\frac{a+b+c}{2}-\frac{1}{2}3=3+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=3=VP\)
\(A=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+\frac{8}{a^2+b^2+6}=\frac{a^3+b^3}{ab}+\frac{8}{a^2+b^2+6}=a^3+b^3+\frac{8}{a^2+b^2+6}\)
\(A=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)+\frac{8}{a^2+b^2+6}\ge2\sqrt{ab}\left(a^2+b^2-1\right)+\frac{8}{a^2+b^2+6}\)
\(A\ge2\left(a^2+b^2-1\right)+\frac{8}{a^2+b^2+6}=2a^2+2b^2-2+\frac{8}{a^2+b^2+6}\)
\(A\ge\frac{a^2+b^2+6}{8}+\frac{8}{a^2+b^2+6}+\frac{15}{8}\left(a^2+b^2\right)-\frac{11}{4}\)
\(A\ge2\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2+6\right).8}{8\left(a^2+b^2+6\right)}}+\frac{15}{8}.2ab-\frac{11}{4}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
Cảm ơn bạn!