Nêu ít nhất 3 cách chứng minh BĐT: (dùng kiến thức 6-7)
Với mọi a,b >0 thì \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Câu hỏi đơn giản nhưng ăn 9 đ đấy=)Miễn làm làm đúng yêu cầu của t=)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
5 tháng 8 2021
Ta có:
\(a^2+b^2+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge2\left(ab+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2\left(a+b\right).\frac{ab+1}{a+b}+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức cuối luôn đúng, ta ta biến đổi tương đương nên bất đẳng thức ban đầu cũng đúng.
Ta có đpcm.
YS
21 tháng 12 2019
| 1 | Hiện tại đơn | Hiện tại tiếp diễn | Tương lai đơn |
| Cấu tạo | a. “To be” verb: i. S + am/are/is + … ii. S + am/are/is + not… b. Regular verb: i. S + V(s/es) + … ii. S + do + V + not … Or ii. S + don’t + V… | a. S + am/ is/ are + V-ing B. S + am/ is/ are + not + V-ing | a. S + will + V b. S + will not + V |
| cách dùng | a. thói quen b. Chân lý | a. hành động đang xảy ra. b. sự việc nói chung đang diễn ra. c. hành động sắp xảy ra trong tương lai gần. d. hành động thường được lặp đi lặp lại | a. diễn đạt quyết định lúc nói B. Đưa ra yêu cầu, đề nghị, lời mời c. diễn đạt dự đoán vô căn cứ |
| dấu hiệu nhận biết | a. Always, usually, often, frequently, sometimes, etc. b. Every day/week/month/year c. Once/twice/three times, a day/week/month/year | a. Now, right now, at the moment, at present. b. Look!, listen!, keep silent! | a. In + time b. Tomorrow c. Next day/ week/ month/ year d. Think/ believe/ suppose/ perhaps/ probably |
| 2 | How much…? | How many…? |
| hình dáng | How many shapes are there? | |
| kích thước | How many inches are in 1 foot? | |
| màu sắc | How many colors are there? | |
| nơi sống | How many places have you lived before? | |
| giá cả | How much does this book cost? | |
| số lượng | How much hair does she have? cannot count individually/too much to count: - hair - light - dust - rice - dirt - water - liquid - air - gas - thread | How many books are there? can count individually: - books - shoes - tables - chickens - light bulbs - grain of rice - strain of hair |
| 3 | a | an |
| cách dùng | 1. before a consonant. - a car, a rock, a bird, a dozen, a hundred, a thousand, a half, a third, a fifth, a day, a week 2. before words with 1st syllable starts with the sound of a consonant - a university, a united nation, a union meeting 3. before letters with syllable starts with the sound of a consonant (B, C, D, G, J, K, P, Q, T, U, V, W, Y, Z) - a B, a U, a Y, a Z | 1. before words start with a,e,i,o - an apple, an orange 2. before words with 1st syllable starts with the sound of vowels. - an hour, an heir, an honor, an unforgetable gift, an undoable job, an umbrella 3. before letters with syllable starts with the sound of vowels. (A, E, F, H, I, L, M, N, O, R, S, X) - an A, an E, an F, etc. - an S.O.S |
| 4 | add -S | add-ES | add -IES | add -VES | |||
| Regular nouns | 1 car 2 cars 1 dog 2 dogs 1 book 2 books 1 house 2 houses 1 apple 2 apples | Ends in S, CH, SH, X, Z | 1 bus 2 buses 1 match 2 matches 1 dish 2 dishes 1 box 2 boxes 1 quiz 2 quizzes | Ends in consonant+Y | remove Y 1 city 2 cities 1 baby 2 babies 1 story 2 stories 1 party 2 parties 1 country 2 countries | Ends in F, FE | remove F/FE 1 leaf 2 leaves 1 wolf 2 wolves 1 life 2 lives 1 knife 2 knives exceptions: roof - roofs cliff - cliffs |
| Ends in vowel+Y | 1 day 2 days 1 key 2 keys 1 boy 2 boys 1 guy 2 guys 1 donkey 2 donkeys | Ends in consonant+O | 1 hero 2 heroes 1 echo 2 echoes 1 tomato 2 tomatoes 1 potato 2 potatoes exceptions: piano - pianos photo - photos | Irregular Nouns | 1 man 2 men 1 child 2 children 1 foot 2 feet 1 tooth 1 mouse 1 person | No change | 1 sheep 2 sheep 1 deer 2 deer 1 fish 2 fish 1 series 2 series 1 species 2 species |
| Ends in vowel+O | 1 zoo 2 zoos 1 radio 2 radios 1 stereo 2 stereos 1 video 2 videos 1 kangaroo 2 kangaroos |
| 5 | more than | the most |
| short adj | The fox is stronger than the cat. | Giraffe has the longest neck. |
| long | The cat is more curious than the dog. | Cats are the most popular pet. |
6.
1. Let’s go to the movie theater!
2. a. What about going for a walk?
b. How about going out for lunch?
3. Why don’t we watch a movie?
4. a. Would you mind opening the door for me?
b. Do you mind if I smoke?
7. a. How do I get to + place?
First, take a left, then a right. Cross the street and you are there.
B. Where is the + place/thing?
It’s opposite/on the left/right…
| 8 | Can | Should |
| cấu tạo | S + can + V + O S + cannot/can't + V + O Can + S + V + O? | S+should+V+O S+should not/shouldn't+V+O Should+S+V+O? |
| cách dùng | 1. Khả năng của người/vật - He can draw manga. 2. Xin phép, đề nghị, yêu cầu, gợi ý - Can I use your pencil? | 1. diễn tả lời khuyên |
9.
Quy tắc 1: Phát âm là /s/ khi tận cùng từ bằng -p, -k, -t, -f.
EX: stops [stops] works [wə:ks]
Quy tắc 2: Phát âm là /iz/ khi tận cùng từ bằng -s,-ss,-ch,-sh,-x,-z,-o,-ge,-ce
EX: misses /misiz/ ; watches [wochiz]
Quy tắc 3: Phát âm là /z/ đối với những từ còn lại
EX: study - studies; supply-supplies…..
TN
9 tháng 7 2017
Lần sau đăng ít 1 thôi đăng nhiều ngại làm, bn đăng nhiều nên tui hướng dẫn sơ qua thôi tự làm đầy đủ vào vở
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+b^4\ge2a^2b^2;b^4+c^4\ge2b^2c^2;c^4+a^4\ge2c^2a^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi thu gọn
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
Áp dụng tiếp BĐT AM-GM
\(a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2b^2ac\)
Tương tự rồi cộng theo vế có ĐPCM
Bài 2:
Quy đồng BĐT trên ta có:
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\) (luôn đúng)
Bài 4: Áp dụng BĐT AM-GM
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{ab}\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{ab}=a+b\)
Tương tự rồi cộng theo vế
Bài 5: sai đề tự nhien có dấu - :v nghĩ là +
9 tháng 7 2017
ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]
13 tháng 10 2020
Vì a, b, c > 0
=> a/b > 0 ; b/c > 0 ; c/a > 0
Áp dụng bđt Cauchy cho :
- Bộ số a/b, 1 ta được :
\(\frac{a}{b}+1\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot1}=2\sqrt{\frac{a}{b}}\)(1)
- Bộ số b/c, 1
\(\frac{b}{c}+1\ge2\sqrt{\frac{b}{c}\cdot1}=2\sqrt{\frac{b}{c}}\)(2)
- Bộ số c/a, 1
\(\frac{c}{a}+1\ge2\sqrt{\frac{c}{a}\cdot1}=2\sqrt{\frac{c}{a}}\)(3)
Nhân (1), (2) và (3) theo vế
=> \(\left(\frac{a}{b}+1\right)\left(\frac{b}{c}+1\right)\left(\frac{c}{a}+1\right)\ge2\sqrt{\frac{a}{b}}\cdot2\sqrt{\frac{b}{c}}\cdot2\sqrt{\frac{c}{a}}=8\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=8\sqrt{\frac{abc}{abc}}=1\)
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
5 tháng 8 2017
a/(b+c)+c/(a+d)=a^2+ad+c^2+bc/(a+d)(b+c)>=4(a^2+ad+c^2+bc)/(a+b+c+d)^2(BĐT 1/xy>=4/(x+y)^2
Tương tự rồi cộng lại ta có a/b+c+c/a+d+b/c+d+d/a+b>=4(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd)/(a+b+c+d)^2=A
>>>Ta sẽ chứng minh A>=1/2 hay 2(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+bc+cd+da)>=(a+b+c+d)^2
tương đương với a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd>=0<<->>(a-c)^2+(b-d)^2>=0(luôn đúng)(đpcm)
Dấu = xảy ra khi a=c và b=d
6 tháng 8 2017
đây là Nesbit 4 số
nếu như gặp bđt Nesbit thì làm thế này:
đặt \(B=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}+\frac{a}{a+b}\)
\(C=\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}+\frac{b}{a+b}\)
\(B+C=\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+d}{c+d}+\frac{d+a}{d+a}=4\)
\(A+B=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b}\ge4\)(theo cô si)
\(A+C=\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(\ge\frac{4\left(a+c\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(b+d\right)}{a+b+c+d}=\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=4\)
\(\Rightarrow2A+B+C\ge8\Rightarrow2A+4\ge8\Rightarrow A\ge2\)
dấu bằng khi a=b=c=d
QD
2
3 tháng 1 2020
Xét
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) \(\left(II\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{c}{c}\ge9\)
\(\Leftrightarrow1+1+1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}++\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge6\)
Áp dụng BĐT Cô - si cho các số dương ta có :
+) \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\left(1\right)\)
+) \(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{c}{a}}=2\left(2\right)\)
+) \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\sqrt{\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}=2\left(3\right)\)
Cộng vế với vế của các BĐT \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) ta có :
\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge2+2+2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\ge6\left(I\right)\)
Vì các BĐT \(\left(I\right);\left(II\right)\) là tương đương nên BĐT (I) luôn đúng \(\Leftrightarrow\) BĐT (2) luôn đúng
Dấu "=" xảy ra \(\) \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(đpcm\right)\)
HT
3 tháng 1 2020
Cái này điều kiện phải là a,b,c dương
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(VT=3+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\ge3+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}+2\sqrt{\frac{c}{a}.\frac{a}{c}}\)
\(=3+2+2+2=9\left(đpcm\right)\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
17 tháng 9 2020
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(\hept{\begin{cases}a^n+\left(n-1\right)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^n\ge n\sqrt[n]{a^n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n\left(n-1\right)}}=n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n-1}a\\b^n+\left(n-1\right)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^n\ge n\sqrt[n]{b^n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n\left(n-1\right)}}=n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n-1}b\\c^n+\left(n-1\right)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^n\ge n\sqrt[n]{c^n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n\left(n-1\right)}}=n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n-1}c\end{cases}}\)
_________________________________________________________________________________________
\(\Rightarrow\left(a^n+b^n+c^n\right)\ge n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n-1}\left(a+b+c\right)-3\left(n-1\right)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^n\)\(=3\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^n\)
Cách 1Ta biến đổi tương đương:
a/b + b/a \(\ge\) 2
<=> (a^2+b^2)/ab \(\ge\)2
<=> a^2+b^2\(\ge\)2ab
<=> a^2-2ab+b^2\(\ge\)0
<=> (a-b)^2 \(\ge\) 0 (*)
Biểu thức (*) đúng; quá trình biến đổi là tương đương do vậy biểu thức đã được chứng minh.
Cách 2 ta luôn có (a - b)² ≥ 0 <=> a² + b² ≥ 2ab ,vì ab > 0 nên suy ra
a² + b² / ab ≥ 2 <=> a²/ab + b²/ab ≥ 2 <=> a/b + b/a ≥ 2